集合幂级数瞎扯

集合幂级数

定义

是一种占位幂级数。

现在令 $2^{\mathbf{X}}$，表示集合 $\mathbf{X}$ 的所有子集，即 $\mathbf{X}$ 的幂集。

对于全集 $\mathbf{U}$，不妨给其元素标号为 $0,1,2,3,\cdots ,n-1$，其中 $n=\mathrm{Card}(\mathbf{U})$，即 $\mathbf{U}$ 的大小。

那么集合幂级数做的事情，就是充当一个函数，在 $\mathbf{U}$ 的幂集上向数域 $\mathbf{F}$ 建立映射，也就是 $2^{\mathbf{U}}\to F$ 的函数。

为了方便表示，然后用 $f_{\mathbf{U}}=\sum _{\mathbf{S}\subseteq \mathbf{U}}{f}_{\mathbf{S}}{x}^{\mathbf{S}}$ 来表示这个函数，下文的 $\mathbf{S}$ 无特殊说明一概视作 $\mathbf{U}$ 的子集。

注意此处的 $x$ 仍然是一个占位符，而且不同于形式幂级数，这个 $x$ 的数域和值是不太好找。

事实上应该把 $f_{\mathbf{S}}{x}^{\mathbf{S}}$ 看作一个整体，表示 $f_{\mathbf{S}}$ 的取值。

OI 中一般把 $\mathbf{S}$ 转化为二进制处理，$\mathbf{S}\to s$ 的转化中，$s$ 的第 $k$ 位为一当且仅当 $\mathbf{S}$ 含有 $\mathbf{U}$ 中标号为 $k$ 的元素。

OI 中一般取 $\mathbf{F}$ 为 $\mathbb{R}$ 或 ${\mathbb{Z}}_{\mathbb{p}}$，即实数或模 $p$ 算数，$p$ 一般是一个大质数。

运算

仿照形式幂级数定义集合幂级数的运算来定义，但要求运算的集合幂级数的全集皆为 $\mathbf{U}$。

• 定义加法 $h=f+g$：$h_{\mathbf{S}}=f_{\mathbf{S}}+g_{\mathbf{S}}$，且显然存在逆元（若 $\mathbf{F}$ 上存在逆元）。
• 定义卷积 $h=f\ast g$：$h_{{\mathbf{S}}_{\mathbf{1}}}\oplus {\mathbf{S}}_{\mathbf{2}}=f_{{\mathbf{S}}_{\mathbf{1}}}\cdot g_{{\mathbf{S}}_{\mathbf{2}}}$，这就值得琢磨了。

我们肯定希望运算性质尽量好，否则推导时不易变化，所以不妨在此对 $\oplus$ 和 $\mathbf{F}$ 域上的 $\cdot$ 稍加约束。

• 为了使 $\ast$ 满足交换律，我们要求 $\oplus$ 和 $\cdot$ 满足交换律；
• 为了使 $\ast$ 满足结合律，我们要求 $\oplus$ 和 $\cdot$ 满足结合律；
• 为了使 $\ast$ 满足分配律，我们要求 $\cdot$ 满足分配律。

同时符合人类直觉的，$\oplus$ 还需要有单位元，即 $\varnothing$，这保证了卷积的单位元是 $x^{\varnothing }$，记作 $ϵ$。

满足上述要求的 $\cdot$ 及其域 $\mathbf{F}$ 很多，故不再赘述。

至于 $\oplus$，常见的形式有三种，并对应出三种常见的集合幂级数卷积：并卷积、对称差卷积、子集卷积。对应的位运算为：位或、位异或、子集枚举。

快速莫比乌斯变换

即 FMT，或称 SOSDP，也即高维前缀和。

可以做并卷积，原理就是高位前缀和，复杂度 $\mathcal{O}(n{2}^n)$。

容易说明 FMT 是线性变换，故满足 $\mathrm{FMT}(H)=\mathrm{FMT}(F)\cdot \mathrm{FMT}(G)$，此处 $\cdot$ 是对应位置点乘。

快速沃尔什变换

即 FWT，可做并卷积、对称差卷积，原理就是线性代数，复杂度 $\mathcal{O}(n{2}^n)$。

容易说明 FWT 是线性变换，故满足 $\mathrm{FWT}(H)=\mathrm{FWT}(F)\cdot \mathrm{FWT}(G)$，此处 $\cdot$ 是对应位置点乘。

子集卷积

并不存在直接的做法，下面是一个转化的做法。

考虑子集卷积的 ${\mathbf{S}}_{\mathbf{1}}\oplus {\mathbf{S}}_{\mathbf{2}}=\{\begin{array}{ll}\text{invalid}& ({\mathbf{S}}_{\mathbf{1}}\cap {\mathbf{S}}_{\mathbf{2}}\ne \varnothing )\\ {\mathbf{S}}_{\mathbf{1}}\cup {\mathbf{S}}_{\mathbf{2}}& ({\mathbf{S}}_{\mathbf{1}}\cap {\mathbf{S}}_{\mathbf{2}}=\varnothing )\end{array}$，可以总结出一个 $\oplus$ 有效的充要条件：$\mathrm{Card}({\mathbf{S}}_{\mathbf{1}})+\mathrm{Card}({\mathbf{S}}_{\mathbf{2}})=\mathrm{Card}({\mathbf{S}}_{\mathbf{1}}\cup {\mathbf{S}}_{\mathbf{2}})$。

于是可以考虑设立 $F_i$，其中 $i\in [0,n)$。每个 $F_i$ 表示的都是一个集合幂级数，其中 $\mathrm{Card}(\mathbf{S})=i$ 的位置在这个幂级数中有值，值是对应的 $f_{\mathbf{S}}$。

同理设立 $G_i$，然后令 $H_{i+j}=F_i\ast G_j$，其中 $\ast$ 是并卷积，于是 $H_i$ 中 $\mathrm{Card}(\mathbf{S})=i$ 的位置的值都是真实有效的值，而其余位置实质是 $\text{invalid}$。

复杂度是 $\mathcal{O}(n^2{2}^n)$。

事实上 $\ast$ 也可以是对称差卷积，但是这个玩意儿没并卷积好。

集合占位幂级数

事实上子集卷积处引入了一个新的数学对象：集合占位幂级数。

对于建立在 $f$ 上的集合占位幂级数 $F$，可以描述为：$F=\sum _{\mathbb{S}\in 2^{\mathbf{U}}}{f}_{\mathbf{S}}{z}^{\mathrm{Card}(\mathbf{S})}{x}^{\mathbf{S}}+\sum _{\mathbf{S}\in 2^{\mathbf{U}}}\sum _{i=\mathrm{Card}(\mathbf{S})+1}^{+\mathrm{\infty }}{\sigma }_{\mathbf{S},i}{z}^i{x}^{\mathbf{S}}$。

对于 $f$ 上的集合占位幂级数，满足 $\mathrm{\forall }i>\mathrm{Card}(\mathbf{S}),{\sigma }_{\mathbf{S},i}=0$。

一方面，可以将集合占位幂级数近似地当作一个集合幂级数处理，但域 $\mathbf{F}$ 不是常规数域，而是模 $x^n$ 意义下的多项式环，容易说明基本是等价的，下文都将采取此思路。

但其实另一方面，也可以将集合占位幂级数近似地当作一个形式幂级数处理，但多项式环将定义在集合幂级数上，同样容易说明基本是等价的，甚至常数会小。

仍然可以根据上述操作建立 $f$ 的集合占位幂级数 $F$，并且可以像形式幂级数一样转化为线性变换后的形式。

Inv & Ln & Exp

接下来无特殊说明皆假定做子集卷积。

现在定义集合幂级数的 Inv & Ln & Exp。

若 $f\ast g=ϵ$，则记 $g=f^{-1}$，即 $f$ 的逆元。

$f^{-1}$ 的求解需要用到集合占位幂级数，具体地，将 $f$ 转为集合占位幂级数 $F$ 后，根据线性性，可以先做 FMT 变化，然后对变换后每一位求逆，再逆变换求得 $F^{-1}$，即可从中提取 $f^{-1}$。

注意存在 $f^{-1}$ 的充要条件是 $f_{\varnothing }\ne 0$。

同理可求 Ln & Exp，故不赘述。

需要指出的是为什么以集合幂级数而非形式幂级数作为外层对象，因为里面的多项式可以暴力做（不是复杂度瓶颈），于是减少了线性变换次数，优化了常数。

Dvt 与 Igt

集合幂级数 $f$ 的导数可用 $f_{\mathbf{S}\setminus \left\{\mathbf{v}\right\}}\leftarrow f_{\mathbf{S}}$ 定义，然而积分却很难说。

所以这一套东西不是完备的。