FWT 小记

卷积

通用定义：

$$\begin{gathered} \text{令 }F=G\times H\text{ 。} \\ \text{则有 }{f}_i=\sum _{x=0}^{n-1}\sum _{y=0}^{n-1}{g}_x{h}_y[x\oplus y=i] \end{gathered}$$

若 $\oplus$ 为 $+$，就是多项式乘法，可以使用 FFT 等手段解决。

当 $\oplus$ 为 位运算 时，则属于位运算卷积，可用 FWT/FMT 解决。

FWT/FMT

FWT/FMT 即为 快速沃尔什变换/快速莫比乌斯变换。

这俩玩意儿网上的分类十分不清楚，所以这里也不做区分（以后也许会 upd）。

对于不同的位运算，我们有不同的做法：

Or

即 $f[i]=\sum _{x=0}^{n-1}\sum _{y=0}^{n-1}{g}_x{h}_y[x\vee y=i]$。

这里做法类似与 FFT，我们先将其转换为 $\mathrm{FWT}[F]=\mathrm{FWT}[G]\mathrm{FWT}[H]$，然后再通过逆变换 IFWT 弄回去。

这里我们可以定义 Or 的 FWT 形式为：$\mathrm{FWT}[F]=\sum _{i=i\vee j}{f}_j$，即 $\mathrm{FWT}[F{]}_i$ 的值为 $i$ 的子集的位置对应的和。

暴力显然没有优化的空间，我们考虑分治。

方便起见，同样假设 $n=2^k$。

由于是或运算，所以像 FFT 那样奇偶分组不是很合理。

我们考虑反其道而行之，按最高位分组。

那么就分为 $f_0,\cdots ,f_n$ 和 $f_n,\cdots ,f_{2n-1}$ 两部分。

分治计算时最高位不被考虑，所以前者相当于钦定了变换后最高位 $\vee$ 为 $0$，后者则是钦定了最高位 $\vee$ 为 $1$。

前者的答案显然正确，后者的答案则缺少一部分：最高位 $\vee$ 为 $0$ 的子集。

怎么补上？很简单，$f_{n+x}+=f_x$ 即可。

逆变换呢？可以发现这就是个高维前缀和，所以做差分即可，复杂度均为 $\mathcal{O}(n\lg n)$。

Code：

template<bool type,typename _Tp>
void FWT_Or(_Tp *f,int n){
	for(int p=1,l=2;p<n;p=l,l<<=1)
		for(int i=0;i<n;i+=l)
			for(int k=0;k<p;++k) f[i|p|k]=f[i|p|k]+(type?f[i|k]:-f[i|k]/*诺，差分*/);
}

注意我们上面的一切都基于：$\mathrm{FWT}[F]=\sum _{i=i\vee j}{f}_j$ 转换后的乘法仍然成立。

但我们并不知道这玩意儿为什么成立……

cmd 大佬的文章用矩阵把这玩意儿手搓了出来，但是我太蒻完全看不懂。

于是有这么一个证明：

假定这个结论对 $\mathrm{FWT}[F_0],\mathrm{FWT}[F_1]$ 分别成立，也就是我们分出的两组（最底层只有一个元素时是显然的）。

我们现在要考虑对 $\mathrm{FWT}[F]$ 是否成立。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathrm{FWT}[F]& =\mathrm{FWT}[F_0],\mathrm{FWT}[F_1]+\mathrm{FWT}[F_0]\text{(2)}& & =\mathrm{FWT}[G_0]\mathrm{FWT}[H_0],\mathrm{FWT}[G_0]\mathrm{FWT}[H_0]+\mathrm{FWT}[G_1]\mathrm{FWT}[H_1]+\mathrm{FWT}[G_1]\mathrm{FWT}[H_0]+\mathrm{FWT}[H_1]\mathrm{FWT}[G_0]\text{(3)}& & =\mathrm{FWT}[G_0]\mathrm{FWT}[H_0],(\mathrm{FWT}[G_0]+\mathrm{FWT}[G_1])(\mathrm{FWT}[H_0]+\mathrm{FWT}[H_1])\text{(4)}& & =(\mathrm{FWT}[G_0],\mathrm{FWT}[G_0]+\mathrm{FWT}[G_1])(\mathrm{FWT}[H_0],\mathrm{FWT}[H_0]+\mathrm{FWT}[H_1])\text{(5)}& & =\mathrm{FWT}[G]\mathrm{FWT}[H]\end{array}$$

归纳法乱搞一下就出来了。

但是第四个式子不是很知道怎么化出来的，挖坑。

然后要进行位运算卷积就类似 FFT 了，先 FWT 化出来点乘再 IFWT 化回去。

值得指出的是这里的 $\mathrm{FWT}$ 其实是算的子集和，所以可以拿去优化一些子集问题。

And

有了 Or 打底，And 其实非常容易：

我们重新定义一下：$\mathrm{FWT}[F]=\sum _{i=i\wedge j}{f}_j$。

然后类似地套用：

$$\mathrm{FWT}[F]=\{\begin{array}{ll}F& n=1\\ F_0+F_1,F_0& n>1\end{array}$$

证明之类的同上，这玩意儿就是个高维后缀和。

Xor

还不会，咕。

运算扩展

不难发现位运算时可以被扩展到 $k$ 进制的，分别是：$min$，$max$ 和带模不进位加法。

分别对应到：$\vee$，$\wedge$，$\oplus$。

Or 的扩展

不难发现就是高位前缀和的每一维多了几个不同的值。

那么就是把这个前缀和做完就行了，复杂度 $\mathcal{O}(kn\lg n)$。

And 的扩展

后缀和做完，完事儿。

不得不说同样的算法，不同的理解方式在不同的部分可以有不同的收获啊。

Xor 的扩展

不会，咕。