关于欧几里得算法与裴蜀定理的证明

前言：

因为某次考试订正 T4，用到了 exCRT，然后发现我和 lws 不会 exgcd……

所以来把 gcd 到 exgcd 重新学一下，就写了这篇 trick。

欧几里得算法：

求证：

$$gcd(a,b)=\{\begin{array}{ll}gcd(b,amodb)& b\ne 0\\ a& b=0\end{array}$$

记：

$a=qb+r$，其中 $q=\lfloor \frac{a}{b}\rfloor$，$r=amodb$。

$d=gcd(b,r)$，且 $b=dx$，$r=dy$，$x\perp y$。

证明：

当 $b=0$ 时，由定义 $gcd(a,b)=a$，之后我们考虑 $b\ne 0$ 的情况。

显然 $gcd(a,b)=gcd(qb+r,b)=dgcd(qx+y,x)$。

设 $gcd(qx+y,x)=g$，此时 $g\mid x$，且 $g\mid qx+y$，即 $q\mid y$。

然而 $x\perp y$，所以 $g=1$。

故 $gcd(a,b)=dgcd(qx+y,x)=d$。

裴蜀定理：

用于求解形如 $ax+by=gcd(a,b)$ 的方程的特解。

过程：

记 $b{x}_0+(amodb)y_0=gcd(b,amodb)$，$a{x}_1+b{y}_1=gcd(a,b)$。

由欧几里得算法，我们可以联立两方程：$b{x}_0+(amodb)y_0=a{x}_1+b{y}_1$。

同样记 $a=qb+r$，则 $b{x}_0+(a-qb)y_0=a{x}_1+b{y}_1$。

拆下系数：$a{y}_0+b(x_0-q{y}_0)=a{x}_1+b{y}_1$。

那么可得 $x_1=y_0,y_1=x_0-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_0$。

边界即为 $ax+0y=a$，此时取 $x=1,y=0$ 即可（当然 $y$ 其实可以为任意整数）。

求解通解：

在 $ax+by=1$ 中，我们的通解为 $x=x_0+db,y=y_0-da$。

而对于 $ax+by=gcd(a,b)$ ，此时的通解应表示为 $x=x_0+d\frac{b}{gcd(a,b)},y=y_0-d\frac{a}{gcd(a,b)}$，此处 $x_0,y_0$ 为一组特解。

证明：

带入 $x,y$ 到原方程，可得：$a(x_0+d\frac{b}{gcd(a,b)})+b(y_0-d\frac{a}{gcd(a,b)})=a{x}_0+b{y}_0+\frac{adb}{gcd(a,b)}-\frac{adb}{gcd(a,b)}=gcd(a,b)$。

故该形式确实表示了 $ax+by=gcd(a,b)$ 的一组解。

然后考虑任意两组解 $x_1,y_1$ 和 $x_2,y_2$。

作差可以得到 $a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)=0$，即 $a(x_1-x_2)=-b(y_1,y_2)$。

提出 $gcd(a,b)$，得到 $\frac{a}{gcd(a,b)}(x1-x2)=-\frac{b}{gcd(a,b)}(y_1-y_2)$。

由于 $\frac{a}{gcd(a,b)}\perp \frac{b}{gcd(a,b)}$，所以 $\frac{a}{gcd(a,b)}\mid (y_1-y_2)$，$\frac{b}{gcd(a,b)}\mid (x_1-x_2)$。

故该形式可以表示出 $ax+by=gcd(a,b)$ 的所有解。

进一步扩展

$ax+by=c$ 在 $gcd(a,b)\mid c$ 时同样被确定有解。

考虑在 $ax+by=gcd(a,b)$ 两边同时乘上一个 $\frac{c}{gcd(a,b)}$。

得到 $\frac{ac}{gcd(a,b)}x+\frac{bc}{gcd(a,b)}y=c$。

这个方程的通解形式与上面的方程相同，这里由于 $\frac{a}{gcd(a,b)}\perp \frac{b}{gcd(a,b)}$，所以 $gcd(\frac{ac}{gcd(a,b)},\frac{bc}{gcd(a,b)})=c$。

这个通解就写为 $x+d\frac{\frac{bc}{gcd(a,b)}}{c},y-d\frac{\frac{ac}{gcd(a,b)}}{c}$，，带入化简可得到 $x+d\frac{b}{gcd(a,b)},y-d\frac{a}{gcd(a,b)}$。

注意上面的 $x$ 是在 $ax+by=gcd(a,b)$ 的解乘上 $\frac{c}{gcd(a,b)}$ 后得到的。