[NOIP2012] 疫情控制

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题目大意：给出一棵树，有\(m\)个军队在某些结点上，使这个结点的子树都被覆盖，可以在移动军队到某个结点，要求让所有叶子节点都被覆盖。

Solution

注意这几个点

• 所有军队一定是往上走的，如果跨越了根节点，那么一定是在根节点的一个儿子上。

• 因为所有军队都是同时移动的，所以就是使移动时间最长的军队所花的时间最少，是一个二分的思想

那么如何二分？？？

我们在\(mid\)时间中让每一个军队都往上提，提不动的话就放在那里，那么就会剩下很多可以越过根节点的军队，我们让这些军队和需要军队的结点匹配，就可\(check\)

• 按照距离根节点的距离，排序所有需要军队的结点；
• 按照剩余时间，排序所有可以到达根节点且有剩余时间的军队；
• 对于一个结点，先尝试我们有剩余时间的，且在这个结点子树内的的军队\(a\)，如果没有，再考虑剩余时间最长的军队\(b\)；
• 这对下一个结点\(nxt\)的匹配是没有影响的；
• 首先\(a\leq b\),如果因为我们选了\(a\)导致\(nxt\)无法被匹配，那么说明\(b\)也无法匹配\(nxt\)，\(a\)就更不可能了；
• 如果因为我们选了\(b\)导致\(nxt\)无法被匹配，那么说明\(a\)不存在，我们只能用\(b\)来匹配当前结点，如果连当前结点都无法匹配，何来\(nxt\)的匹配。

1. 将军队向上提，如果可以提到根节点，且有剩余时间，那么进入数组\(a\)
2. 如果不可以，那就在结束的点上打标记，说明子树已经全部被覆盖
3. 对根节点的所有儿子判断是否需要军队，需要军队就进入数组\(b\)
4. 对数组\(a,b\)进行排序
5. 贪心求是否匹配

细节在代码中

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring> 
#include <algorithm>
#define pf(x) printf("%d\n", x);
 
using std::sort;

const int N = 5e4 + 5;

int head[N], cnt, ans = -1, n, R, L, acnt, bcnt, m;
int ju[N][20], dis[N][20];
int army[N], vis[N], used[N];

struct Edge{
	int to, next, val;
}e[N << 1];

struct Aha{
	int rest, id;
}a[N], b[N], c[N];

inline void addedge(int x, int y, int z){
	e[++cnt].val = z;
	e[cnt].to = y;
	e[cnt].next = head[x];
	head[x] = cnt;
}

inline void init(){
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1, la, lb, lc; i <= n - 1; ++i){
		scanf("%d %d %d", &la, &lb, &lc);
		addedge(la, lb, lc);
		addedge(lb, la, lc);
		R += lc;
	}
	scanf("%d", &m);
	for(int i = 1; i <= m; ++i){
		scanf("%d", &army[i]);
	}
}

void dfs(int x, int fa){
	for(int i = 1; i <= 17; ++i){
		ju[x][i] = ju[ju[x][i - 1]][i - 1];
		dis[x][i] = dis[ju[x][i - 1]][i - 1] + dis[x][i - 1];//dis[x][i]表示从x点调2 ^ i个点所需的时间
	}
	for(int i = head[x]; i; i = e[i].next){
		if(e[i].to != fa){
			dis[e[i].to][0] = e[i].val;
			ju[e[i].to][0] = x;
			dfs(e[i].to, x);
		}
	}
	return;
}

bool check_node(int x, int fa){
	int child_flag = 0;
	int common_child_flag = 1;
	if(vis[x]) return 1;//如果已经有不能跳到根节点的军队在这里驻扎，直接返回true
	for(int i = head[x]; i; i = e[i].next){
		if(e[i].to != fa){
			child_flag = 1;
			if(!check_node(e[i].to, x)){
				common_child_flag = 0;
				if(x == 1){//如果是根节点的儿子，进入数组b
					b[++bcnt].id = e[i].to;
					b[bcnt].rest = e[i].val;
				}
				else return 0; 
			}
		}
	}
	if(!child_flag) return 0;
	else return common_child_flag;//如果是根节点，由于在统计儿子时不能直接返回0，所以如果有了需要军队的，便变为0
	//同时当普通点如果一直子节点都返回1，那么最终也是返回1的
}

inline bool cmp(Aha c, Aha d){
	return c.rest > d.rest;
}

bool check(int lim){
	int num;
	acnt = 0, bcnt = 0;
	used[0] = 1;//一定别忘qwq 
	for(int i = 1; i <= n; ++i) vis[i] = 0;
	memset(c, 0, sizeof(c));//初始化
	for(int i = 1; i <= m; ++i) used[i] = 0;
	for(int i = 1, x; i <= m; ++i){
		x = army[i];//取军队的位置 
		num = 0;
		for(int j = 17; j >= 0; --j){
			if(num + dis[x][j] <= lim && ju[x][j] > 1){
				num += dis[x][j];
				x = ju[x][j];
				
			}
		}
		if(ju[x][0] == 1 && num + dis[x][0] <= lim){
			a[++acnt].rest = lim - num - dis[x][0], a[acnt].id = i;

			if(!c[x].id || a[acnt].rest < c[x].rest)
				c[x].id = a[acnt].id, c[x].rest = a[acnt].rest;
		} else {
			vis[x] = 1;
		}
	}

	int now = 1;
	if(check_node(1, 0)) return 1;
	sort(a + 1, a + acnt + 1, cmp), sort(b + 1, b + bcnt + 1,cmp);//由于一个是取剩余时间的从大到小，一个是取剩余距离的从大到小，我们可以合成一个cmp
 	for(int i = 1; i <= bcnt; ++i){

 		if(!used[c[b[i].id].id]){

 			used[c[b[i].id].id] = 1;
 			continue;
 		}
 		while(now <= acnt && (used[a[now].id] || a[now].rest < b[i].rest)){
 			now++;
		 }

 		if(now > acnt) return 0; 			
 		used[a[now].id] = 1;
 	}
 	return 1;
}

void b_s(){
	int mid;
	while(L <= R){
		mid = L + ((R - L) >> 1);
		if(check(mid)){
			ans = mid;
			R = mid - 1;
		}else {
			L = mid + 1;
		}
	}
}

inline void outit(){
	printf("%d\n", ans);//无解输出-1
}

int main(){
	init();//读入
	dfs(1, 0);//深搜一遍处理倍增
	b_s();//二分求答案
	outit();//输出答案
	return 0;
}