Loading [MathJax]/extensions/TeX/mathchoice.js

[笔记]扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法

"那时候真好"

今天刚刚学了扩展欧几里德算法,让我很兴奋!于是我开始做同余方程,因此,我又被wyx卷了一顿!
emm,题意就是 ax\equiv 1\pmod{b}求x的最小整数解。由此可以得到 ax\bmod b =1(因为1 \bmod b=1)即ax+by=1于是可以用扩展欧几里德来做了!

下列是证明

证明:

原式: ax+by=gcd(a,b)(假设a≥b)

  • b=0,有gcd(a,b)=a,此时x=1,y=0
  • b\neq 0,根据欧几里得定理gcd(a,b)=gcd(b,a\bmod b)可得
    ax+by = gcd(a,b)​ = gcd(b,a\bmod b)​ =bx'+(a\bmod b)y' ​


ax+by=bx'+(a\bmod b)y' =bx'+(a-b*\lfloor a/b \rfloor) y'

移项得
ax+by=bx'+(a\bmod b)y' =ay'+b(x'-\lfloor a/b \rfloor y')

根据恒等定理,有

\begin{cases} x=y'\\ y=x'- \lfloor a/b\rfloor y' \end{cases}

这有什么用呢?
x'y'还是不知道呀.
重新来看看我们得到的两个等式.xygcd(a,b)=ax+by的解,

x'y'是在对gcd(a,b)按欧几里德算法进行一步后的结果对应的贝祖等式(裴蜀)gcd(b,a\bmod b)=bx'+(a\bmod b)y'的解.

也就是说,gcd(a,b)对应的贝祖等式的解x,y可以由gcd(b,a\bmod b)对应等式的解x',y'计算得出

由于欧几里德算法最后一步为gcd(d,0)=d,此时对应的等式的解为x=1,y=0,因此只要如上述代码,从gcd(d,0)往前处理,

在进行欧几里德算法的递归的时候根据相邻两次调用间x,yx',y'的关系计算即可求出ax+by=gcd(a,b)的解.

更进一步,对于任意不定式ax'+by'=c,只需要在等式ax+by=gcd(a,b)=d两边乘上c/d即可得到解为 x'=x\cdot c/d,y'=y\cdot c/d

如何得到所有解?
实际上在之前的计算和证明中我们得到的只是不定方程的一组解,那么怎样得到所有解呢?对于一般形式ax+by=c有通解
x=p+kb,y=q-ka (k\in Z)
.(证明略,只要代入一下就知道为什么通解是这个了


上述证明出自扩展欧几里德算法(附证明)


代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int t, x, y;

int exgcd(int a, int b){
	if(b == 0){
		x = 1;
		y = 0;
		return x;
	}else{
		exgcd(b, a % b);
		t = x;
		x = y;
		y = t - (a / b) * y;
	}
	return x;
}

int main() {
    int a, b;
    cin>>a>>b;
    int ans = (exgcd(a, b) + b) % b;//可能出现负数,这个操作就是都加上b,如果是负数,那么就会变正,若为正数,因为%b,所以又会变回去。
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

2018-05-24 20:13:58 初稿

2018-08-16 12:10 修订

感觉之前也是囫囵吞枣的学习,系统复习后发现了很多错误

posted @   LMSH7  阅读(166)  评论(0编辑  收藏  举报
编辑推荐:
· Linux glibc自带哈希表的用例及性能测试
· 深入理解 Mybatis 分库分表执行原理
· 如何打造一个高并发系统?
· .NET Core GC压缩(compact_phase)底层原理浅谈
· 现代计算机视觉入门之:什么是图片特征编码
阅读排行:
· 手把手教你在本地部署DeepSeek R1,搭建web-ui ,建议收藏!
· Spring AI + Ollama 实现 deepseek-r1 的API服务和调用
· 数据库服务器 SQL Server 版本升级公告
· 程序员常用高效实用工具推荐,办公效率提升利器!
· C#/.NET/.NET Core技术前沿周刊 | 第 23 期(2025年1.20-1.26)
点击右上角即可分享
微信分享提示