数论之指数循环节

整了快一周的指数循环节，虽说自己证明还是不会，但用还是懂用的。

核心东西，降幂公式：

maijing大佬的证明：指数循环节

然后就是直接上题了。

 fzu 1759 Super A^B mod C 

fzu网站好像崩了，这题就直接套版子。

Calculation HDU - 2837 

题意： f(0) = 1 and 0^0=1. f(n) = (n%10)^f(n/10) 求f(n)%m。

就递归加指数循环节，f(n)%m = (n%10)^f(n/10)%phi(m)+phi(m)%m，

然后f(n/10)%phi(m)=(n/10%10)^f(n/10/10)%phi(phi(m))+phi(phi(m))%phi(m)

一层层递归，直到n==0的话，此时0^0=1，就返回1%当前要mod的那个数了，而因为不好判断f(x)是不是大于phi(y),所以直接在快速幂里加上判断

 1 #include<cstdio>
 2 typedef long long ll;
 3 ll poww(ll a,ll b,ll c){
 4     if(a>=c) a=a%c+c;
 5     ll ans=1;
 6     while(b){
 7         if(b&1){
 8             ans=ans*a;
 9             if(ans>c) ans=ans%c+c;
10         }
11         a=a*a;
12         if(a>=c) a=a%c+c;
13         b>>=1; 
14     }
15     return ans;
16 }
17 int euler(int x){
18     int ans=x;
19     for(int i=2;i*i<=x;i++){
20         if(x%i==0){
21             ans-=ans/i;
22             while(x%i==0) x/=i;
23         }
24     }
25     if(x>1) ans-=ans/x;
26     return ans;
27 }
28 ll f(int x,int y){
29     if(x==0) return 1%y;
30     return poww(x%10,f(x/10,euler(y)),y);
31 }
32 int main()
33 {
34     int t,n,m;
35     scanf("%d",&t);
36     while(t--){
37         scanf("%d%d",&n,&m);
38         printf("%lld\n",f(n,m)%m);
39     }
40     return 0;
41 }
板子套得好，摸摸金尾巴

What is N? HDU - 4335 

题意:求满足下列式子的n有多少个

 

首先，nn!%p=nn!%phi(p)+phi(p)%p,当n<phi(p)的时候，我们就直接套板子暴力算，而当n>=phi(p),n!%phi(p)=0，就是看有多少个nphi(p)%p==b,这时候我们可以把n拆成(phi(p)+k),因为这个时候的指数固定了，(phi(p)+k)phi(p)%p就跟(phi(p)+k)1%p一样，存在着一个长度为p的循环节，我们就找出循环节中包含多少个结果为b的即可。还有个坑点是当p==1的时候，答案很明显是m+1，而m=2的64-1次方的话，答案会超出unsigned long long的范围，得特判。

 1 #include<cstdio>
 2 typedef unsigned long long ull;
 3 const int N=101108;
 4 int phi[N],yu[N];
 5 void init(){//预处理欧拉函数 
 6     for(int i=1;i<N;i++) phi[i]=i;
 7     for(int i=2;i<N;i+=2)phi[i]/=2;
 8     for(int i=3;i<N;i+=2) if(phi[i]==i){
 9         for(int j=i;j<N;j+=i) phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
10     }
11 }
12 ull poww(ull a,ull b,ull c){
13     ull ans=1;
14     while(b){
15         if(b&1) ans=ans*a%c;
16         a=a*a%c;
17         b>>=1;
18     }
19     return ans;
20 } 
21 int main()
22 {
23     init();
24     int t=1,T,b,p,pp;
25     ull m;
26     scanf("%d",&T);
27     while(t<=T){
28         scanf("%d%d%llu",&b,&p,&m);
29         printf("Case #%d: ",t++);
30         if(p==1){
31             if(m==18446744073709551615ull) printf("18446744073709551616\n");
32             else printf("%llu\n",m+1);
33             continue;
34         }
35         pp=phi[p];
36         ull jc=1,ans=0;
37         for(int i=0;i<pp&&i<=m;i++){//先处理n<phi(p)的情况 
38             if(i){
39                 jc*=1ll*i;
40                 if(jc>=pp) jc=jc%pp+pp;
41             }
42             if(poww(i,jc,p)==b) ans++;
43         }
44         if(pp<=m){//处理循环节的情况 
45             int num=0,lim;
46             for(int i=0;i<p;i++){
47                 yu[i]=poww(pp+i,pp,p);
48                 if(yu[i]==b) num++;
49             }
50             ans+=1llu*(m-pp+1)/p*num;
51             lim=(m-pp+1)%p;
52             for(int i=0;i<lim;i++)
53                 if(yu[i]==b) ans++;
54         }
55         printf("%llu\n",ans);
56     }
57     return 0;
58 }
爱的循环一圈圈

Strange Limit 

ZOJ - 2674 

 题意：a1= p,
an+1= pan for n >= 1,

bn = an mod m!,

求

 

可以看出就是求a^p^p^p^p^p^p^p^p^p %m!，n个p，n趋向于无穷大,也就是递归里套一个指数循环节，然后居然n趋向于无限大，那么当前要mod的x,phi(phi(phi(m)))，也在一直缩小，当p%x=0的时候，就是返回个pp%x，再往上就是0的几次方了，已经没有影响了。

还有就是输出格式有点坑，有个空行。

 1 #include<cstdio>
 2 typedef long long ll;
 3 int p,m,jc[15]={1};
 4 int euler(int x){
 5     int ans=x;
 6     for(int i=2;i*i<=x;i++){
 7         if(x%i==0){
 8             ans-=ans/i;
 9             while(x%i==0) x/=i;
10         }
11     }
12     if(x>1) ans-=ans/x;
13     return ans;
14 }
15 ll poww(ll a,ll b,ll c){
16     ll ans=1;
17     if(a>=c) a=a%c+c;
18     while(b){
19         if(b&1){
20             ans*=a;
21             if(ans>=c) ans=ans%c+c;
22         }
23         a*=a;
24         if(a>=c) a=a%c+c;
25         b>>=1;
26     }
27     return ans;
28 }
29 ll ap(int x){
30     if(p%x==0) return poww(p,p,x);
31     return poww(p,ap(euler(x)),x);
32 }
33 int main()
34 {
35     for(int i=1;i<=12;i++) jc[i]=jc[i-1]*i;
36     int flag=0;
37     while(~scanf("%d%d",&p,&m)){
38         if(flag) printf("\n");
39         flag=1;
40         printf("%lld\n",ap(jc[m])%jc[m]);
41     }
42     return 0;
43 }
apppppppppp

 计蒜客Exponial

题意：给n,m求这个image.png%m

也是一个递归加指数循环节，需要注意的地方就是，递归出口有两个，一个是n==1的时候，因为一个就和上面那题思路一样，当x%y==0，返回个xx-1%y

 1 #include<cstdio>
 2 typedef long long ll;
 3 int euler(int x){
 4     int ans=x;
 5     for(int i=2;i*i<=x;i++){
 6         if(x%i==0){
 7             ans-=ans/i;
 8             while(x%i==0) x/=i;
 9         }
10     }
11     if(x>1) ans-=ans/x;
12     return ans;
13 }
14 ll poww(ll a,ll b,ll c){
15     ll ans=1;
16     if(a>=c) a=a%c+c;
17     while(b){
18         if(b&1){
19             ans*=a;
20             if(ans>=c) ans=ans%c+c;
21         }
22         a*=a;
23         if(a>=c) a=a%c+c;
24         b>>=1;
25     }
26     return ans;
27 }
28 ll exponial(int x,int y){
29     if(x==1) return 1%y;
30     if(x%y==0) return poww(x,x-1,y);
31     return poww(x,exponial(x-1,euler(y)),y);
32 }
33 int main()
34 {
35     int n,m; 
36     while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
37         printf("%lld\n",exponial(n,m)%m);
38     }
39     return 0;
40 }
上帝开了两扇门

 

Brute-force Algorithm HDU - 3221 

题意：

 

 给出n，求funny运行了多少次。

可以看出F[1]=a,F[2]=b,而F[3]=F[1]*F[2]=a*b,F[4]=F[3]*F[2]=a*b*b。。。F[n]=F[n-1]*F[n-2]

那么当n>=3时，a的指数也就是斐波那契第n-3项,b是n-2项（我是以f[0]=1,f[1]=1来算）

这是就是矩阵快速幂去求出他们的指数，然后指数进行欧拉降幂

 1 #include<cstdio>
 2 typedef long long ll;
 3 ll a,b,n,md,mmd;
 4 struct Matrix{
 5     int r,c;
 6     ll a[5][5];
 7     Matrix(){}
 8     Matrix(int r,int c):r(r),c(c){
 9         for(int i=0;i<r;i++)
10             for(int j=0;j<c;j++) a[i][j]=0;
11     }
12 };
13 Matrix mmul(Matrix m1,Matrix m2,ll z){
14     Matrix ans(m1.r,m2.c);
15     for(int i=0;i<m1.r;i++)
16         for(int j=0;j<m2.c;j++)
17             for(int k=0;k<m1.c;k++){
18                 ans.a[i][j]+=m1.a[i][k]*m2.a[k][j];
19                 if(ans.a[i][j]>=z) ans.a[i][j]=ans.a[i][j]%z+z;
20             }
21     return ans;
22 }
23 Matrix mpow(Matrix m1,ll y,ll z){
24     Matrix ans(m1.r,m1.c);
25     for(int i=0;i<ans.r;i++) ans.a[i][i]=1;
26     while(y){
27         if(y&1) ans=mmul(ans,m1,z);
28         m1=mmul(m1,m1,z);
29         y>>=1;
30     }
31     return ans;
32 }
33 ll euler(ll x){
34     ll ans=x;
35     for(int i=2;i*i<=x;i++){
36         if(x%i==0){
37             ans-=ans/i;
38             while(x%i==0) x/=i;
39         }
40     }
41     if(x>1) ans-=ans/x;
42     return ans;
43 }
44 ll poww(ll x,ll y,ll z){
45     ll ans=1;
46     while(y){
47         if(y&1) ans=ans*x%z;
48         x=x*x%z;
49         y>>=1;
50     }
51     return ans;
52 }
53 int main(){
54     int t=1,C;
55     scanf("%d",&C);
56     while(t<=C){
57         scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&md,&n);
58         printf("Case #%d: ",t++);
59         if(n==1) printf("%lld\n",a%md);
60         else if(n==2) printf("%lld\n",b%md);
61         else{
62             n-=3;
63             mmd=euler(md);    
64             Matrix A(2,1),T(2,2);
65             A.a[0][0]=A.a[1][0]=1;
66             T.a[0][0]=T.a[0][1]=T.a[1][0]=1;
67             T=mpow(T,n,mmd);
68             A=mmul(T,A,mmd);
69         //    printf("%lld**",mmd);
70         //    printf("%lld %lld\n",A.a[0][0],A.a[1][0]);
71             ll ans=poww(a,A.a[1][0],md);
72             ans=ans*poww(b,A.a[0][0],md);
73             printf("%lld\n",ans%md);
74         }
75     }
76     return 0;    
77 }
斐波斐波

啊，感觉数学这些东西就是，先记住怎么用了，证明看了也不一定会，记了也会忘

主要是想学广义斐波那契数列的指数循环节的，但多校没补的题有点多，再见。

posted @ 2019-07-27 20:28  新之守护者  阅读(620)  评论(0)  编辑  收藏  举报