数位dp入门 HDU 2089 HDU 3555
最基本的一类数位dp题，题目大意一般是在a~b的范围，满足某些要求的数字有多少个，而这些要求一般都是要包含或者不包含某些数字，或者一些带着数字性质的要求，一般来说暴力是可以解决这一类问题，可是当范围非常大时，暴力明显会超时，这时便是需要把它转化为一类dp问题，这就是数位dp。像一个数1234567890，直接把它暴力的话，那它就是一个1e9级别的数，可是把它一个数位一个数位的话，那它就是1位是0,2为是9，一直到10位是1，一共才10位的长度，明显就比暴力明朗多了。
由于我也是刚接触不久，还没有什么自己深刻感悟，日后再做总结，现在先具体问题具体分析，来两道入门的数位dp题进行进行理解
不要62和4HDU - 2089
题目大意就是，一个数字它如果含有62或者4它就是不吉利数字，而你要求的就是【n,m】范围内的不含有不吉利数字的个数。
这题的范围只有1e6，所以暴力还是行得通的，不过我们在学数位dp，就用数位dp来解决。那我们想一下，每一个数个位，十位，百位。。。的范围都是从0~9,那么我们把一个数拆成一位位，例如，一个万位的数就可以拆成
万：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
千：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
百：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
十：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
个：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
现在假如一个数的10086，那它的范围内有多少个不含不吉利吉利的数呢，首先我们得把10086分解，得出一个上界，类似这个样子
万：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 上界1
千：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 上界0
百：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 上界0
十：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 上界8
个：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 上界6
这个上界就是在有限制的情况下，当前数位的数字选择只能从[0,上界]中选择，那么这个限制又是什么吗，其实就是范围限制，就像现在我们要求的是10086范围内的，那么如果万位取0，对千位肯定就没有限制可以取[0,9]中任意的数字，但当万位取1，千位就有限制了只能取到0，要是取到1那么就不是求10086范围内的了，而是求11xxx范围内的了，那这个限制怎么传递呢，首先当前数位如果没有限制的话，那么对下面的数位也没有限制，像万位取0,下面的数位都没有限制，而当前数位如果有限制的话，并且取的是上界的话，对下面的数位就有限制，像万位取1，千位有限制，然后千位取0是上界又对下面的又有限制，而像万位取1，千位取0，百位取0，对十位有限制，但十位取小于8的数对个位就没有限制，所以上界的限制传递的条件就是，当前数位有限制并且取的是上界，就会对下面的数位有限制
那现在回到问题，怎么确定不是不吉利的数有几个呢，首先每一位肯定是不能含有4这个数字的，然后就是上一数位是6，当前数位就不能是2，详情见代码
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 int n,m,up[18],dp[65][2];//dp[i][j]数位i的上一数字是不是6时不含不吉利的数字有多少个 4 int dfs(int p,bool is6,bool isu)//p当前数位，is6上一个数位是不是6,isu当前数位有没有限制 5 { 6 if(p==0)//边缘值，p为0是个空集，肯定没有62或4，返回1 7 return 1; 8 if(!isu&&dp[p][is6]!=-1) 9 return dp[p][is6]; 10 int ans=0; 11 for(int i=0;i<=(isu ? up[p] : 9);i++) 12 { 13 if((is6&&i==2)||i==4)//当前数位不能取4，以及如果上一数位取6，当前数位不能取9 14 continue; 15 ans+=dfs(p-1,i==6,isu&&i==up[p]);//继续往下判断下一数位 16 } 17 if(!isu) 18 dp[p][is6]=ans; 19 return ans; 20 } 21 int solve(int x) 22 { 23 int num=0; 24 while(x) 25 { 26 up[++num]=x%10; 27 x/=10; 28 } 29 return dfs(num,0,1); 30 } 31 int main() 32 { 33 memset(dp,-1,sizeof(dp)); 34 while(scanf("%d%d",&n,&m)&&(n||m)) 35 printf("%d\n",solve(m)-solve(n-1)); 36 return 0; 37 }
关于记忆化，当前数位没有限制时，那么它取任何数相对应的结果是通用的，记忆化搜索就达到了省时的效果
要49HDU - 3555
相比上一题不要62和4，这题就是给出一个n,要求[1,n]范围内含49的数字有多少个，不过我们可以反过来求出不含49的，然后减去即可
#include<cstdio> #include<cstring> #define ll long long ll n,dp[65][2]; int t,up[18]; ll dfs(int p,bool is4,bool isu) { if(p==0) return 1; if(!isu&&dp[p][is4]!=-1) return dp[p][is4]; ll ans=0; for(int i=0;i<=(isu ? up[p] : 9);i++) { if(is4&&i==9) continue; ans+=dfs(p-1,i==4,isu&&i==up[p]); } if(!isu) dp[p][is4]=ans; return ans; } ll solve(ll x) { int num=0; while(x) { up[++num]=x%10; x/=10; } return dfs(num,0,1); } int main() { scanf("%d",&t); memset(dp,-1,sizeof(dp)); while(t--) { scanf("%lld",&n); printf("%lld\n",n+1-solve(n)); } return 0; }
对于答案的+1,因为我们的数位dp求的是[0,n]范围内的不含49的数字的个数，而题目要求的是[1,n]范围内含49的数字的个数，直接用n减去的话，0肯定不含49，会多减去一个0，所以要+1
当然也有直接就是求[1,n]范围内含49的数字个数的，详情见代码
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #define ll long long 4 ll n,dp[65][2],cf[18]={1};//cf保存10的次方 5 int t,up[18]; 6 ll dfs(int p,bool is4,bool isu) 7 { 8 if(p==0)//空集不含49，返回0 9 return 0; 10 if(!isu&&dp[p][is4]!=-1) 11 return dp[p][is4]; 12 ll ans=0; 13 for(int i=0;i<=(isu ? up[p] : 9);i++) 14 { 15 if(is4&&i==9)//上一数位的4，当前位是9，可以计算答案了 16 ans+=isu ? n%cf[p-1]+1 : cf[p-1];//有上界的限制，比如n是49870， 17 //当前位是第4位取9，那么49000~49870都是可以的，也就是n%1000+1 18 //反之没有限制的话，比如n是50000,当第5位是4，当前位是第4位取9 19 //那么49000~49999都是可以的，也就是1000 20 else 21 ans+=dfs(p-1,i==4,isu&&i==up[p]); 22 } 23 if(!isu) 24 dp[p][is4]=ans; 25 return ans; 26 } 27 ll solve(ll x) 28 { 29 int num=0; 30 while(x) 31 { 32 up[++num]=x%10; 33 x/=10; 34 } 35 return dfs(num,0,1); 36 } 37 int main() 38 { 39 for(ll i=1;i<=18;i++) 40 cf[i]=cf[i-1]*10; 41 scanf("%d",&t); 42 memset(dp,-1,sizeof(dp)); 43 while(t--) 44 { 45 scanf("%lld",&n); 46 printf("%lld\n",solve(n)); 47 } 48 return 0; 49 }
