bzoj1898 [Zjoi2005]Swamp 沼泽鳄鱼
[Zjoi2005]Swamp 沼泽鳄鱼
Time Limit: 5 Sec Memory Limit: 64 MB
Description
潘塔纳尔沼泽地号称世界上最大的一块湿地，它地位于巴西中部马托格罗索州的南部地区。每当雨季来临，这里碧波荡漾、生机盎然，引来不少游客。为了让游玩更有情趣，人们在池塘的中央建设了几座石墩和石桥，每座石桥连接着两座石墩，且每两座石墩之间至多只有一座石桥。这个景点造好之后一直没敢对外开放，原因是池塘里有不少危险的食人鱼。豆豆先生酷爱冒险，他一听说这个消息，立马赶到了池塘，想做第一个在桥上旅游的人。虽说豆豆爱冒险，但也不敢拿自己的性命开玩笑，于是他开始了仔细的实地勘察，并得到了一些惊人的结论：食人鱼的行进路线有周期性，这个周期只可能是\(2，3\)或者\(4\)个单位时间。每个单位时间里，食人鱼可以从一个石墩游到另一个石墩。每到一个石墩，如果上面有人它就会实施攻击，否则继续它的周期运动。如果没有到石墩，它是不会攻击人的。借助先进的仪器，豆豆很快就摸清了所有食人鱼的运动规律，他要开始设计自己的行动路线了。每个单位时间里，他只可以沿着石桥从一个石墩走到另一个石墩，而不可以停在某座石墩上不动，因为站着不动还会有其它危险。如果豆豆和某条食人鱼在同一时刻到达了某座石墩，就会遭到食人鱼的袭击，他当然不希望发生这样的事情。现在豆豆已经选好了两座石墩Start和End，他想从\(Start\)出发，经过\(K\)个单位时间后恰好站在石墩\(End\)上。假设石墩可以重复经过（包括\(Start\)和\(End\)），他想请你帮忙算算，这样的路线共有多少种（当然不能遭到食人鱼的攻击）。
Input
输入文件共\(M + 2 + NFish\)行。第一行包含五个正整数\(N，M，Start，End\)和\(K\)，分别表示石墩数目、石桥数目、\(Start\)石墩和\(End\)石墩的编号和一条路线所需的单位时间。石墩用\(0\)到\(N–1\)的整数编号。第\(2\)到\(M + 1\)行，给出石桥的相关信息。每行两个整数\(x\)和\(y\)，\(0 ≤ x, y ≤ N–1\)，表示这座石桥连接着编号为\(x\)和\(y\)的两座石墩。第\(M + 2\)行是一个整数\(NFish\)，表示食人鱼的数目。第\(M + 3\)到\(M + 2 + NFish\)行，每行给出一条食人鱼的相关信息。每行的第一个整数是\(T\)，\(T = 2\)，\(3\)或\(4\)，表示食人鱼的运动周期。接下来有\(T\)个数，表示一个周期内食人鱼的行进路线。 如果\(T＝2\)，接下来有2个数\(P_0\)和\(P_1\)，食人鱼从\(P_0\)到\(P_1\)，从\(P_1\)到\(P_0\)，……； 如果\(T＝3\)，接下来有\(3\)个数\(P_0，P_1\)和\(P_2\)，食人鱼从\(P_0\)到\(P_1\)，从\(P_1\)到\(P_2\)，从\(P_2\)到\(P_0\)，……；如果\(T＝4\)，接下来有\(4\)个数\(P_0，P_1，P_2\)和\(P_3\)，食人鱼从\(P_0\)到\(P_1\)，从\(P_1\)到\(P_2\)，从\(P_2\)到\(P_3\)，从\(P_3\)到\(P_0\)，……。豆豆出发的时候所有食人鱼都在自己路线上的\(P_0\)位置，请放心，这个位置不会是\(Start\)石墩。
Output
输出路线的种数，因为这个数可能很大，你只要输出该数除以\(10000\)的余数就行了。 【约定】$ 1 ≤ N ≤ 50 \ 1 ≤ K ≤ 2,000,000,000 \ 1 ≤ NFish ≤ 20$
Sample Input
6 8 1 5 3
0 2
2 1
1 0
0 5
5 1
1 4
4 3
3 5
1
3 0 5 1
Sample Output
2
【样例说明】
时刻 0 1 2 3
食人鱼位置 0 5 1 0
路线一 1 2 0 5
路线二 1 4 3 5
这道题可以来用来了解一下矩阵。
显然你会先想到\(dp\)，\(dp[i][j]\)表示第\(i\)秒在\(j\)的方案数。转移也极其简单，顺着边转移就好了。
但是稍微看一下数据范围就可以发现两点：
1.转移次数太多
2.每条鱼的周期很小。
所以我们可以考虑矩阵。
可以发现最小的公共周期是12，所以我们可以每12个的转移。
每次用矩阵转移如下:
如果\(i,j\)联通，那么\((i,j)=1\),反之为\(0\)
有考虑有鱼的地方不能走，那么意味着本次矩阵转移以后这个点要为\(0\)，所以把用来转移的矩阵对应的列全部赋值为\(0\)
最后12个12个的转移，余数就暴力转移啦！！
那么什么时候想到用矩阵呢?
对于用矩阵来优化\(dp\)，大多数都是用来优化转移。所以转移次数应该比较多，并且能写出矩阵转移的形式（转移比较有规律）
矩阵快速幂大概初步可以这样用啦
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 50+10;
const int MOD = 10000;
int n,m,k,s,t,nf,tmp[5];
struct Matrix{
int n,m,d[N][N];
void set(){
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
d[i][j] = (i==j);
}
void clear(){
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
d[i][j] = 0;
}
void eat(int x){
for(int i=1;i<=m;i++)d[x][i]=0;
}
}ans,zht[13];
Matrix operator * (const Matrix&a,const Matrix&b){
Matrix c;int i, j,k;
c.n = a.n;c.m = b.m;
for(i=1;i<=c.n;i++)
for(j=1;j<=c.m;j++)
c.d[i][j]=0;
for(i=1;i<=c.n;i++)
for(j=1;j<=c.m;j++)
for(k=1;k<=a.m;k++){
c.d[i][j] += a.d[i][k]*b.d[k][j];
if(c.d[i][j] >= MOD)c.d[i][j]%=MOD;
}return c;
}
Matrix kpow(Matrix x,int k){
Matrix re;re.set();
for(;k;k/=2,x=x*x)
if(k&1)re=re*x;
return re;
}
void print(const Matrix&a){
int i,j;
for(i=1;i<=a.n;i++)
{
for(j=1;j<=a.m;j++)printf("%d ",a.d[i][j]);
printf("\n");
}
}
int scan(){
char cc=' ';int re=0,fh=1;while(cc==' '||cc=='\r'||cc=='\n')cc=getchar();
if(cc=='+')cc=getchar(),fh=1;if(cc=='-')cc=getchar(),fh=-1;
while('0'<=cc&&cc<='9'){re=re*10+cc-'0';cc=getchar();}return re*fh;
}
int main(){
int i,j,a,b;
n = scan();m = scan();
s = scan();t = scan();
k = scan();s++;t++;
ans.n=n; ans.m=1;
ans.clear();
ans.d[s][1]=1;
for(i=1;i<=12;i++){
zht[i].n=zht[i].m=n;
zht[i].clear();
}
for(i=1;i<=m;i++){
a = scan();b = scan();
a++;b++;
for(j=1;j<=12;j++){
zht[j].d[a][b]++;
zht[j].d[b][a]++;
}
}
nf = scan();
for(i=1;i<=nf;i++){
a = scan();
for(j=0;j<a;j++){
tmp[j]=scan()+1;
}
for(j=1;j<=12;j++){
zht[j].eat(tmp[(j)%a]);
}
}
for(i=2;i<=12;i++){
zht[i]=zht[i]*zht[i-1];
}
zht[0]=kpow(zht[12],k/12);
if(k%12)zht[0]=zht[k%12]*zht[0];
ans = zht[0]*ans;
printf("%d\n",ans.d[t][1]);
return 0;
}
