关于欧拉函数与莫比乌斯函数等一系列积性函数的线性筛

为什么要学习不同的筛法?

原因很简单，因为通常当我们需要运用欧拉函数等一系列函数的时候，我们会采取提前预处理的方法来提高我们的效率。既然要提升效率，那么我们就需要尽量用优秀一下的方法来完成我们的要求。

线性筛的出发点是什么？

我们利用的最重要的性质就是它的积性。那么积性是什么？我们分为积性和完全积性。积形函数具有如下的性质：

\(F( a * b ) = F( a ) * F( b ) ( gcd( a , b ) = 1 )\)

而完全积性函数就是没有互质这个限定条件

\(F( a * b ) = F( a ) * F( b )\)

那么由欧拉函数，莫比乌斯函数的定义很容易的就可以得到它们是一个积性函数。因此，自然而然就可以想到，我们可以通过求出两个互质的数 a , b 的函数值 来推出 a * b 对应的函数值

所以就有了一下这个筛法:

/*  线性筛求出莫比乌斯函数的值 
	利用积性函数的性质  */ 

mu[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; ++i)
{
	if(not_prime[i] == 0)
	{
		tot++;
		prime[tot] = i; mu[i] = -1; 
	}
	for(int j = 1; prime[j] * i <= n; ++j)
	{
		not_prime[prime[j] * i] = 1;
		if(i % prime[j] == 0)
		{
			mu[prime[j] * i] = 0;
			break;
		}
		mu[prime[j] * i] = -mu[i];
	}
} 

/* 线性筛欧拉函数 */ 
void get_eular()    
{    
    pnum = 0;  
    for(int i = 2; i < MAX; i++)    
    {    
        if(!noprime[i])    
        {    
            p[pnum ++] = i;    
            phi[i] = i - 1;    
        }    
        for(int j = 0; j < pnum && i * p[j] < MAX; j++)    
        {    
            noprime[i * p[j]] = true;    
            if(i % p[j] == 0)    
            {    
                phi[i * p[j]] = phi[i] * p[j];    
                break;    
            }    
            phi[i * p[j]] = phi[i] * (p[j] - 1);    
        }    
    }    
} 

现在我们来解释一下这个代码：
首先，这一系列函数分为两个部分，质数与非质数。

那么对于质数，我们应该先进行一次特殊处理。原因有两个：

（1） 质数的计算方法不方便使用积性函数的性质，理应特殊处理（注：不同函数有对应的方法）

（2） 质数处理了以后，我们要通过它去求得更多的函数值。

对于非质数，运用积性函数的性质进行计算

那么则是循环语句中最关键的几句话

你每循环到一个 i ，就应该算出 i 的倍数的对应的函数值。又因为质数的性质，只有当 i 是一个质数的倍数的时候它们才可能不互质。所以这是一个临界条件。

既然这样，我们再讨论一下为什么能够break？

我们担心的无非就是会不会有遗漏？显然我们不需要担心这一点，原因很简单：

每一个数一定会被它最小的质因数给计算到，而刚好在计算以后 ———— break；

所以不会有遗漏的情况

因此有了这种常用的线性筛法