bzoj1426 收集邮票

收集邮票

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Description

有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

Input

一行,一个数字N N<=10000

Output

要付出多少钱. 保留二位小数

Sample Input

3

Sample Output

21.25

这道题代码确实很友好，但是。。。期望真的不友好啊。。。。
表示对于期望都是各种dp和倒推啊。。。
我们设\(f[i]\)表示你已经有了\(i\)种邮票，你要买完剩下的所有邮票的期望次数。

\[f[i]=\frac{i}{n}f[i]+\frac{n-i}{n}f[i+1]+1 \]

这个式子怎么理解呢。。。我们可以倒过来看。
对于每个点的期望次数，你是由两种不同情况转移来的，你要么运气比较差，自己转移到自己；要么运气比较好，就转移出去了。
所以每一个\(f[i]\)都是由\(f[i]\)和\(f[i+1]\)转移过来的，那么最后为什么要\(+1\)呢？
因为你本身成功转移的那一次要加上啊(有点强行理解的感觉~)
然后你可以把上面那个式子化简（具体看代码）

我们设\(g[i]\)表示你已经买了\(i\)中以后你卖完剩下的期望花的钱

\[g[i]=\frac{n-i}{n}(g[i+1] + f[i + 1]) + \frac{i}{n}(g[i]+ f[i]) + 1 \]

这里的\(f[]\)虽然上面是次数，但是由于每一次你都要在上次的基础上多花一块钱，所以你本次花的钱是你的次数*1
其他就是和上面的差不多的理解了
化简后的公式具体看代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 5;
double f[maxn], g[maxn];
int main()
{
	double n; scanf("%lf", &n);
	for(int i = n - 1; i >= 0; --i)	f[i] = f[i + 1] + (n / (n - i));
	for(int i = n - 1; i >= 0; --i) g[i] = g[i + 1] + f[i + 1] + (i / (n - i)) * f[i] + n / (n - i);
	printf("%.2lf", g[0]);
	return 0;
}