关于货仓选址问题的方法及证明（在数轴上找一点使得该点到所有其他点的距离之和最小）

在数轴上找一点使得该点到所有其他点的距离之和最小

方法：找到大小为中位数的点，该点就是要求的点（如有两个取之间任意一点都行）

证明：

　　先看看当只有2个点时的情况：

　

　　分类讨论：

　　如果在A的左边(如 $P_1$ )，距离之和( $sum$ )为：$dis(P_1,A)+dis(P_1,B)=dis(P_1,A)+dis(P_1,A)+dis(A,B)$

　　( $dis(a,b)$ 为 $a$ 到 $b$ 的距离)

　　如果在 $A$ 和 $B$ 的中间（包括 $A,B$）： $sum=dis(P_2,A)+dis(P_2,B)=dis(A,B)$

　　如果在右边： $sum=dis(P_3,A)+dis(P_3,B)=dis(A,B)+dis(P_3,B)+dis(P_3,B)$

　　显然在 $A$ 和 $B$ 中间时距离之和最小。

　　那对于 $3$ 个点时呢：

　　设中间的点为 $C$ ，旁边的为 $A,B$

　　一个点 $P$ 到各个点的距离之和为： $dis(A,P)+dis(B,P)+dis(C,P)=(dis(A,P)+dis(B,P))+dis(C,P)$

　　如果在能够满足 $dis(A,P)+dis(B,P)$ 最小的情况下还能满足 $dis(C,P)$ 最小，那么就一定是最优的方案

　　显然 当 $P$ 在 $A,B$ 中间时满足 $dis(A,P)+dis(B,P)$ 最小，

　　又因为 点 $C$ 在 $A,B$ 中，所以当点 $P$ 和点 $C$ 重合时不仅 $dis(C,P)=0$ 最小，而且 $dis(A,P)+dis(B,P)$ 最小

　　所以取中间的点C是最优的方案。

　　对于4个点时：

　　同样的思路：

　　设中间的点为 $C,D$，旁边的为 $A,B$

　　如果能满足在 $A,B$ 中间能找到一个点 $P$ 使得 $P$ 到 $C,D$ 的距离之和最小

　　那么 $P$ 就是最优方案（因为已经满足 $P$ 到 $A,B$ 的距离之和最小了...）

　　由前面可知，当 $P$ 在 $C,D$ 中间时 $P$ 到 $C,D$ 的距离之和最小，并且因为 $C,D$ 又在 $A,B$ 中间

　　所以当 $P$在 $C,D$ 中间时，$P$ 到各点的距离最小。

 

　　那么对于多个点时：

　　首先找到最外面的两个点，点 $P$ 要在它们之间

　　然后在找次外面的点，点 $P$ 也要在它们之间

　　......

　　一直找到只剩 $1$ 或 $2$ 个点

　　如果只剩一个点，那么最优方案就是 $P$ 取这个点

　　否则 $P$ 可以取两个点之间的任意位置

　　这样就可以保证方案最优

　　 即：找到大小为中位数的点（如有两个取之间任意一点都行）

 证明完毕.