Codeforces 1245 E. Hyakugoku and Ladders

传送门

显然这个图是个 $DAG$ ，那么就可以考虑跑 $dp$ 了

先考虑没有梯子的情况，首先把每个位置标号，越后面的位置编号越小，终点位置编号为 $1$

那么从终点往起点 $dp$ ，枚举当前位置摇到的数字，那么有 $f[x]=\frac{\sum_{i=1}^{6}(f[x-i]+1)}{6}$，并且 $f[1]=0$

但是这是在 $x>6$ 的情况下成立的，因为如果 $x<=6$ 那么有可能不走，特殊考虑一下

首先 $f[2]$ ，那么有 $5/6$ 的概率原地不动，$1/6$ 的概率走到终点，即 $f[2]=\frac{5(f[2]+1)}{6}+\frac{f[1]+1}{6}=(\frac{5}{6}+\frac{f[1]+1}{6}) / (1-5/6)$

然后 $f[3]$ 也差不多考虑，$f[3]=\frac{4(f[3]+1)}{6}+\frac{f[1]+1}{6}+\frac{f[2]+1}{6}=(\frac{4}{6}+\frac{f[1]+1}{6}+\frac{f[2]+1}{6}) / (1-4/6)$

发现对于 $x\in [2,6]$ ，$f[x]=\frac{(\sum_{i=1}^{x-1}f[x-i]+1)/6+(7-i)/6}{1-(7-i)/6}$

现在来考虑有梯子的情况，设位置 $x$ 有一个梯子通往位置 $y$ ，那么 $f[x]$ 转移的时候还要考虑瞬移到 $y$ 再走的情况

差不多的转移，取个最小值即可，即和 $\sum_{i=1}^{6}(f[y-i]+1)/6$ 取个最小值，对于 $y<=6$ 的情况同样要特殊处理

看代码就知道具体怎么做了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int n=10,N=107;
int id[N][N],to[N];
db f[N];
int main()
{
    int tot=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(i&1)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                id[i][j]=++tot;
        else
            for(int j=n;j>=1;j--)
                id[i][j]=++tot;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            int a=read();
            if(a) to[id[i][j]]=id[i-a][j];
        }
    // f[2]=(f[2]+1)*5/6 + 1/6
    // f[3]=(f[3]+1)*4/6 + 1/6 + (f[2]+1)/6
    for(int i=2;i<=6;i++)
    {
        for(int j=1;j<i;j++)
            f[i]+=(f[i-j]+1.0)/6;
        f[i]+=(7.0-i)/6;
        f[i]/=(1.0-(7.0-i)/6);
    }
    for(int i=7;i<=tot;i++)
    {
        for(int j=1;j<=6;j++)
            f[i]+=(f[i-j]+1.0)/6;
        if(!to[i]) continue;
        db mi=0; int t=to[i];
        if(t==1) { f[i]=0; continue; }//我这个做法要特判
        for(int j=1;j<=6;j++)
            if(t-j>0) mi+=(f[t-j]+1.0)/6;
        if(t<=6) mi+=(7.0-t)/6,mi/=(1.0-(7.0-t)/6);
        f[i]=min(f[i],mi);
    }
    printf("%.10f\n",f[tot]);
    return 0;
}