Codeforces 1237F. Balanced Domino Placements

传送门

很妙的题

首先先考虑一个简化的问题，现在有一行格子让你填

你要么填一格 要么填两格 有的格子不让你填 问你填了 $a$ 个一格和填了 $b$ 个两格有多少种方案

那么显然先只考虑放两格的方案，这个可以简单 $dp$ 得到，设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个格子放了 $j$ 个两格的方案数

那么如果 $i,i-1$ 都没障碍，那么 $f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-2][j-1]$ ，否则 $f[i][j]=f[i-1][j]$

然后再来考虑填一格的，显然剩下的 $tot-2j$ 个位置都可以随便填，那么方案数为 $C[tot-2j][i]$ ，直接乘法原理乘起来即可

接下来可以考虑怎么把这道题简化到这个情况，假设放了 $a$ 个水平的多米诺，$b$ 个垂直的多米诺

对于行来说，相当于放 $a$ 个 $1$ ，$b$ 个 $2$，对于列就相当于放 $a$ 个 $2$ ，$b$ 个 $1$

注意到每个多米诺可以根据在第几行和第几列来唯一确定，所以我们对行列分别求一下之前那个东西然后乘起来再乘上 $a!b!$ 即可

乘上 $a!b!$ 就相当于把骨牌不同的放置顺序看成不同的放置方案，意思是强制行的第 $i$ 个放置和列的第 $i$ 个放置配对

就原本一维的方案我们让它放置有顺序，然后强制行和列两两匹配，这样才能确定二维平面上的具体位置

因为如果只是行列乘起来，那么没法确定某个骨牌的具体位置，考虑对于 $a$ ，行放了位置 $1,3$ ，列放了位置 $(1,2),(3,4)$

那么多米诺骨牌可以是 $((1,1),(1,2))$ 和 $((3,3),(3,4))$ ，但是也有可能是 $((1,3),(1,4))$ 和 $((3,1),(3,2))$

自己画画图就很容易理解了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int N=4007,mo=998244353;
inline int fk(int x) { return x>=mo ? x-mo : x; }
int n,m,K,Ans,fac[N],C[N][N];
int f[N][N],g[N][N];
bool px[N],py[N];
int main()
{
    n=read(),m=read(),K=read(); int mx=max(n,m);
    fac[0]=1; for(int i=1;i<=mx;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mo;
    for(int i=0;i<=mx;i++)
    {
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
            C[i][j]=fk(C[i-1][j-1]+C[i-1][j]);
    }
    for(int i=1;i<=K;i++)
    {
        int a=read(),b=read(),c=read(),d=read();
        px[a]=px[c]=1; py[b]=py[d]=1;
    }
    int cntx=0,cnty=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) cntx+=px[i];
    for(int i=1;i<=m;i++) cnty+=py[i];
    for(int i=0;i<=n;i++) f[i][0]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=mx;j++)
            if(px[i]||px[i-1]) f[i][j]=f[i-1][j];
            else f[i][j]=fk(f[i-1][j]+f[i-2][j-1]);
    for(int i=0;i<=m;i++) g[i][0]=1;
    for(int i=2;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=mx;j++)
            if(py[i]||py[i-1]) g[i][j]=g[i-1][j];
            else g[i][j]=fk(g[i-1][j]+g[i-2][j-1]);
    for(int i=0;i<=mx;i++)
        for(int j=0;j<=mx;j++)
            if(i+j*2<=n-cntx&&i*2+j<=m-cnty)
                Ans=fk(Ans + 1ll*f[n][j]*C[n-cntx-j*2][i]%mo *g[m][i]%mo *C[m-cnty-i*2][j]%mo *fac[i]%mo *fac[j]%mo );
    printf("%d\n",Ans);
    return 0;
}