P2496 [SDOI2012]体育课
分块
对每个块维护一个 $add$ 和 $del$ 标记，对于块 $o$ 内某个位置 $i$，它真实的修改量为 $a[i]+add[o]*i-del[o]$
这样就可以维护一个区间加一个等差数列的操作了
对于操作 $2$，交换两个位置，直接把两个位置的块标记下传，然后直接交换
对于操作 $1$，考虑到相同的块内 $add$ 只会越来越大，对于某个位置 $i$，它一开始是最大的位置，随着标记的增加，比它大的位置显然一定在它右边
所以考虑维护一个数列，使得数列相邻两个位置中，一旦左边的被超越，下一个可能的最大值就是右边下一个
我一开始天真地以为直接维护一个单调数列即可，然后搞了半天发现是错的，如图：
对于这种情况，当 $a[j]$ 还没超过 $a[i]$ 时，$a[k]$ 可能已经超过 $a[i]$ 了，所以我们不能把 $a[j]$ 放到数列里，不然就无法保证单调性
事实上，我们需要维护的是所有点对 $(x,a[x])$ 构成的上凸包，具体理由如下：
对于某个位置 $i$，如果 $a[i]$ 被超越，那么对于下一个位置 $k$ ，$i,k$ 之间必须不存在 $j$，使得
$a[i]+add*i-del>a[j]+add*j-del$ 并且 $a[k]+add*k-del>a[i]+add*i-del$
即 $(a[i]-a[j])/(i-j)<-add$ 且 $(a[i]-a[k])/(i-k)>-add$
即 $(a[i]-a[k])/(i-k)>(a[i]-a[j])/(i-j)$，发现左右两边其实就是连线的斜率，所以即维护一个上凸包
具体实现起来还是有一些细节的
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cmath> #include<vector> using namespace std; typedef long long ll; inline int read() { int x=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); } return x*f; } const int N=2e5+7,M=357; int n,m; int bel[N],L[M],pos[M]; ll a[N],add[M],del[M]; vector <int> st[M]; inline void push_down(int o) { for(int i=L[o];i<L[o+1];i++) a[i]+=add[o]*i-del[o]; add[o]=del[o]=pos[o]=0; st[o].clear(); } inline ll calc(int i,int o) { return a[i]+add[o]*i-del[o]; } inline void upd(int o) { while(pos[o]<st[o].size()-1 && calc(st[o][pos[o]],o)<=calc(st[o][pos[o]+1],o) ) pos[o]++; } inline void build(int o) { for(int i=L[o];i<L[o+1];st[o].push_back(i),i++) while(st[o].size()>1 && (a[i]-a[st[o][st[o].size()-1]])*(st[o][st[o].size()-1]-st[o][st[o].size()-2]) >= (a[st[o][st[o].size()-1]]-a[st[o][st[o].size()-2]])*(i-st[o][st[o].size()-1]) ) st[o].pop_back(); upd(o); } inline void query(int l,int r) { int bl=bel[l-1]+1,br=bel[r+1]-1; ll res=0; if(bl>br) { for(int i=l;i<=r;i++) res=max(res, calc(i,bel[i]) ); printf("%lld\n",max(0ll,res-calc(1,1))); return; } for(int i=l;i<L[bl];i++) res=max(res, calc(i,bel[i]) ); for(int i=L[br+1];i<=r;i++) res=max(res, calc(i,bel[i]) ); for(int i=bl;i<=br;i++) res=max(res, calc(st[i][pos[i]],i) ); printf("%lld\n",max(0ll,res-calc(1,1))); } inline void Swap(int x,int y) { push_down(bel[x]); push_down(bel[y]); swap(a[x],a[y]); build(bel[x]); build(bel[y]); } inline void change(int l,int r,int t) { int bl=bel[l-1]+1,br=bel[r+1]-1; if(bl>br) { push_down(bel[l]); push_down(bel[r]); for(int i=l;i<=r;i++) a[i]+=1ll*(i-l+1)*t; build(bel[l]); build(bel[r]); return; } if(L[bl]!=l) { for(int i=l;i<L[bl];i++) a[i]+=1ll*(i-l+1)*t; push_down(bl-1); build(bl-1); } if(L[br+1]-1!=r) { for(int i=L[br+1];i<=r;i++) a[i]+=1ll*(i-l+1)*t; push_down(br+1); build(br+1); } for(int i=bl;i<=br;i++) add[i]+=t,del[i]+=1ll*(l-1)*t,upd(i); } int main() { n=read(),m=read(); int T=sqrt(n)+1; for(int i=1;i<=n;i++) { a[i]=read(); bel[i]=(i-1)/T+1; if(bel[i]!=bel[i-1]) L[bel[i]]=i; } bel[n+1]=bel[n]+1; L[bel[n+1]]=n+1; for(int i=1;i<=bel[n];i++) build(i); int opt,a,b; for(int i=1;i<=m;i++) { opt=read(); a=read(),b=read(); if(opt==1) { query(a,b); continue; } if(opt==2) { Swap(a,b); continue; } change(a,b,read()); } return 0; }
