P4049 [JSOI2007]合金

传送门

好巧妙的题啊...

首先因为 $a+b+c=1$，所以我们忽略 $c$，只要确定出 $a,b$ 即可

考虑构建平面直角坐标系，横坐标为 $a$，纵坐标为 $b$，那么一种原料或者合金 $v_1=(a_1,b_1)$ 就可以看成平面上的一个向量

而如果某两种原料 $v_1,v_2$ 可以构成一种合金，那么有 $k_1v_1+k_2v_2=(k_1+k_2)v_3$，当然也可以写成 $k_1v_1+k_2v_2=v_3,k_1+k_2=1$

根据初中的理论，$av_1+(1-a)v_2,a \in [0,1]$ 这个向量的终点在 $v_1,v_2$ 两个终点的连线上

所以两种原料能够组成的合金在它们终点的连线上

考虑三个向量的情况，首先其中两个可以组合出一个线段，线段的任意一点都可以和第三个向量组合，所以三个向量能够组成他们凸包内的向量

多个向量也是同样的道理，所以只要求出能包围所有合金点的原料点构成的凸包的最小点数

枚举任意两个原料点，如果合金都在连边的左侧则它们的连边可以作为凸包的一部分，否则不能

注意特判合金在边上的情况，只有当在线段上时此边才合法

然后 $floyd$ 跑最小环即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int N=507,INF=1e9+7;
const db eps=1e-9;
inline bool fc(db x,db y) { return fabs(x-y)<eps; }
struct Point {
    db x,y;
    Point (db a=0,db b=0) { x=a,y=b; }
    inline Point operator + (const Point &tmp) const {
        return Point(x+tmp.x,y+tmp.y);
    }
    inline Point operator - (const Point &tmp) const {
        return Point(x-tmp.x,y-tmp.y);
    }
    inline bool operator != (const Point &tmp) const {
        return fabs(x-tmp.x)>eps||fabs(y-tmp.y)>eps;
    }
    inline void print() { cout<<x<<" "<<y<<endl; }
}C[N],D[N];
inline db Cross(Point A,Point B) { return A.x*B.y-A.y*B.x; }
inline db Dot(Point A,Point B) { return A.x*B.x+A.y*B.y; }
int n,m,mp[N][N];
inline bool check(Point S,Point T)
{
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        db t=Cross(T-S,D[i]-S);
        if(t<-eps) return 0;
        else if(fabs(t)<eps&&Dot(T-D[i],S-D[i])>eps) return 0;
    }
    return 1;
}
int main()
{
    db a,b,c; n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lf%lf%lf",&a,&b,&c);
        C[i]=Point(a,b);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%lf%lf%lf",&a,&b,&c);
        D[i]=Point(a,b);
    }
    memset(mp,0x3f,sizeof(mp));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
                mp[i][j]=(check(C[i],C[j]) ? 1 : INF);
    for(int k=1;k<=n;k++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++) mp[i][j]=min(mp[i][j],mp[i][k]+mp[k][j]);
    int ans=mp[0][0];
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=min(ans,mp[i][i]);
    if(ans>=INF) printf("-1\n");
    else printf("%d\n",ans);
    return 0;
}