关于OI中的各种数学
学到后面数学越来越多了，感觉好难啊，开个博客专门记录一下数学相关的东西
因为反正也没人看，所以主要还是给自己看的
一些符号：
数论函数的卷积：$\ast$，$ h = f \ast g$ 则 $h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$
$\epsilon $ 叫单位元，对每个 $f(1) \neq 0$ 的函数 $f$，有 $\epsilon \ast f = f$
$\epsilon(n) = [ n=1 ]$
$\mathbf{id}$ ，不知道叫啥，反正 $\mathbf{id}(n)=n$ ，没了
$\mathbf{1}$ ，奇怪的操作，数字 $1$ 也能当函数，$\mathbf{1}(n)=1$
$\phi $，欧拉函数，有很多结论：
$\mathbf{id}=\phi \ast \mathbf{1}$，即 $n=\sum_{d|n}\phi(d)$
对于某个函数 $f$ 的逆 $g$，有 $f \ast g = \epsilon$
$\mu $，莫比乌斯函数，$\mu $ 其实是 $\mathbf{1}$ 的逆
所以有 $\phi = \mu \ast \mathbf{id}$
关于如何求出 $\mu(n)$ 的值 ：
如果 $n$ 质因数分解以后每个质因数都互不相同，设质因数数量为 $p$，则 $\mu(n)=(-1)^p$，否则 $\mu(n)=0$
$\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]$
莫比乌斯反演： 设 $F(n)=\sum_{d|n}f(d)$，那么有 $f(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac {n} {d})F(d)$
证明：
$f(n)=\sum_{m|n}[\frac {n} {m}=1] f(m)$
$f(n)=\sum_{m|n}\sum_{d|\frac {n} {m}}\mu(d)f(m)$，枚举 $d$
$f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{m|\frac {n} {d}}f(m)$
$f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac {n} {d})$
$f(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac {n} {d})F(d)$
另一个方向的结论：$F(n)=\sum_{n|d}f(d)$，那么有 $f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac {d} {n})F(d)$
证明和上面差不多
二项式反演（就是容斥）：
首先
$\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}=[n=0]$，证明可以通过递推式，数学归纳法解决
$n=0$ 时式子为 $1$，$n$ 等于 $1$ 时式子为 $0$，考虑 $n+1$ 都是由 $n$ 得到的
对于每一个 $\binom{n}{k}$ 他会贡献给 $\binom{n+1}{k},\binom{n+1}{k+1}$，因为 $(-1)^k,(-1)^{k+1}$ 正负不同刚好抵消，所以 $n+1$ 还是 $0$
设 $F(n)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f(k)$，那么有 $f(n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\binom{n}{k}F(k)$
证明：
$f(n)=\sum_{m=0}^{n}[n-m=0]\binom{n}{m}f(m)$
$f(n)=\sum_{m=0}^{n}\sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k\binom{n-m}{k}\binom{n}{m}f(m)$
发现 $\binom{n-m}{k}\binom{n}{m}$ 意思是 $n$ 选 $m$ 剩下的再选 $k$ ，和 $n$ 选 $k$，剩下选 $m$ 是一样的
$f(n)=\sum_{m=0}^{n}\sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{n-k}{m}f(m)$，枚举 $k$
$f(n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\sum_{m=0}^{n-k}\binom{n-k}{m}f(m)$
$f(n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}F(n-k)$，换一下下标：
$f(n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\binom{n}{k}F(k)$
杜教筛相关：
$S_{f}$ 表示 $f$ 的前缀和，即 $S_{f}(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)$
$S_{f \ast g} = \sum_{d=1}^{n} g(d)S_{f}(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor)$
证明：
$\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(d)g(\frac {i} {d})=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(\frac {i} {d})g(d)$
考虑枚举因数 $d$，显然有 $n/d$ 种 $i$，并且每种都是 $d$ 的倍数，设 $i=dj$
$=\sum_{d=1}^{n}g(d)\sum_{j}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}f(j)$
$= \sum_{d=1}^{n} g(d)S_{f}(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor)$
所以有 $g(1)S_f(n)=S_{f \ast g}-\sum_{i=2}^{n} g(i)S_{f}(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)$
因为 $\mu \ast \mathbf{1} = \epsilon$， $S_{\epsilon}(n)=1$
所以 $S_{\mu}(n)=1-\sum_{i=2}^{n}1 \cdot S_{\mu}(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)$
$S_{\mu}(n)=1-\sum_{i=2}^{n}S_{\mu}(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)$
因为 $\phi \ast \mathbf{1} = \mathbf{id}$，$S_{\mathbf{id}}(n)=\frac {n(n+1)} {2}$
所以 $S_{\phi}(n)=\frac {n(n+1)} {2} - \sum_{i=2}^{n} 1 \cdot S_{\phi}(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)$
$S_{\phi}(n)=\frac {n(n+1)} {2} - \sum_{i=2}^{n}S_{\phi}(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)$
设 $f=\phi \cdot id$，因为 $(f \ast \mathbf{id})(n)=\sum_{d|n}f(d) \cdot (\frac {n} {d})= \sum_{d|n}\phi(d) \cdot d \cdot (\frac {n} {d})=n\sum_{d|n}\phi(d)=n^2$
所以 $S_{f \ast \mathbf{id}}(n)=n^2$
所以 $S_{f}(n)=n^2 - \sum_{i=2}^{n}i \cdot S_{f}(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)$
生成函数相关：
$\sum_{n=0}^{\infty }x^n = \frac {1} {1-x}$
$\sum_{n=0}^{\infty }\binom{n+k-1}{n}x^n = \frac {1} {(1-x)^k}$
$\sum_{n=0}^{\infty }\frac {x^n} {n!} = e^x$
$\sum_{n=0}^{\infty }\frac {x^n} {n} = \ln \frac {1} {1-x}$
$\sum_{n=0}^{\infty }\frac {x^{2n}} {(2n)!} = \frac {e^x+e^{-x}} {2}$
$\sum_{n=0}^{\infty }\frac {x^{2n+1}} {(2n+1)!} = \frac {e^x-e^{-x}} {2}$
泰勒展开：$F(x)=\sum_{i=0}^{\infty} \frac {F^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i} {i!}$
群论相关：
符号：
$G$ 置换群
$Z_k$ 保持 $k$ 这个位置不变的置换集合
$E_k$ $k$ 这个位置改变的的元素集合
$C(\pi)$ 置换 $\pi$ 作用下不变的位置 $k$ 的个数
$Burnside$ 引理： $L= \frac{1} {\left |G \right |}\sum_{i=1}^{n}\left | Z_i \right |=\frac{1} {\left |G \right |}\sum_{\pi \in G}C(\pi)$
$Polya$ 定理： $ L= \frac {1} {\left |G \right |} (m^{c(\pi_1)}+m^{c(\pi_2)}+m^{c(\pi_3)}+...+m^{c(\pi_p)})$
其中 $m$ 是颜色数，$c(\pi_k)$ 是置换 $\pi_k$ 的循环节个数
博弈论（以下均为口胡）：
博弈的每个状态都可以看成点，一个状态经过一些操作到达另一个状态看成有向边，整个博弈是个 $DAG$
一些定义：$mex$ ，一种对整数集合的操作，输入一个集合，输出一个数，为集合中没出现的最小的整数，如 $mex(0,1,3,4)=2,mex(1,2,3)=0$
$SG$ 函数，定义为所有它能到达的点的 $SG$ 值的 $mex$，如果它不能到达任何点，$SG=0$
结束局面为必败局面，能到达必败局面的是必胜局面，所有到达的局面都是必胜局面的是必败局面（十分显然）
发现这样和 $SG$ 有很大关联，如果 $SG>0$ 说明有一个后继局面 $SG=0$，如果 $SG=0$ 说明不是结束局面就是所有到达的局面 $SG>0$
所以对于单个博弈如果 $SG=0$ 则为必败局面，$SG>0$ 则为必胜局面
对于多个子博弈一起进行的博弈（子博弈之间互不干扰），这个总的博弈的 $SG$ 为所有子博弈 $SG$ 的异或和（严谨证明好像要很多神仙操作，看不懂溜了）
总结一下就是单个博弈 $SG$ 是取 $mex$ ，多个博弈 $SG$ 取 $xor$
$Anti-SG$，面对没有后继的状态的人赢，如果规定当局面所有单一游戏 $SG$ 都是 $0$ 时游戏结束
那么先手必胜当且仅当：
整个游戏的 $SG>0$ 并且存在子博弈的 $SG>1$，或者
整个游戏的 $SG=0$ 并且任意子博弈的 $SG<=1$
具体证明我也讲不清楚，大概就是把 整个游戏的 $SG$ 是否为 $0$，是否存在子博弈 $SG>1$ ，分四种情况情况分别讨论
然后根据结束状态 总 $SG=0$，子 $SG=0$ 数学归纳一下，真想探究的话走这边：传送门
$multi-SG$ ，单一博弈的一个后继可以是 多个单一博弈的总博弈 ，这个东西同样满足 $SG$ 函数
即每个博弈的 $SG$ 值为所有后继博弈的 $SG$ 值异或和
计算几何各种基础操作（毒瘤警告）：
自己整理的，并不能保证正确性 $qwq$，如果有大佬发现错误希望能说一声，感激不尽 $qwq$
以下总计 $6.32kb$
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cmath> using namespace std; typedef long long ll; typedef double db; typedef long double ldb; const db eps=1e-12;
inline int dcmp(db x) { if(fabs(x)<eps) return 0; return x<0 ? -1 : 1; }//判断正负
struct Point {//定义点或者向量 db x,y; Point (db a=0,db b=0) { x=a,y=b; } inline Point operator + (const Point &tmp) const {//向量加 return Point(x+tmp.x,y+tmp.y); } inline Point operator - (const Point &tmp) const {//向量减 return Point(x-tmp.x,y-tmp.y); } inline Point operator * (const db k) const {//向量数乘 return Point(x*k,y*k); } inline bool operator != (const Point &tmp) const { return fabs(x-tmp.x)>eps||fabs(y-tmp.y)>eps; } inline bool operator < (const Point &tmp) const {//把点按x,y排序 return x!=tmp.x ? x<tmp.x : y<tmp.y; } inline void print() { cout<<x<<" "<<y<<endl; }//输出 };
inline db Cross(Point A,Point B) { return A.x*B.y-A.y*B.x; }//叉积
inline db Dot(Point A,Point B) { return A.x*B.x+A.y*B.y; }//点积
inline bool In_Line(Point A,Point B,Point C) {//判断A是否在BC上 if(fabs(Cross(B-A,C-A))<eps&& Dot(B-A,C-A)<-eps) return 1; }
inline db Polar_Angle(Point A) {//求向量A与x轴的极角
return atan2(A.y,A.x);
}
inline Point Rotate(Point A,db a) {//把向量A旋转弧度a
return Point(A.x*cos(a)-A.y*sin(a),A.x*sin(a)+A.y*cos(a));
}
inline db Length(Point A) {//求向量A的长度
return sqrt(Dot(A,A));
}
inline db Angle(Point A,Point B) {//求向量A,B之间的夹角
return acos(Dot(A,B)/Length(A)/Length(B));
}
inline db Distance_To_Line(Point P,Point A,Point B) {//求P到直线AB的距离
return fabs(Cross(B-A,P-A)/Length(B-A));
}
inline Point Intersection(Point a1,Point a2,Point b1,Point b2)//求直线a1a2,b1b2的交点 { Point a=a2-a1,b=b2-b1,c=b1-a1; if(fabs(Cross(b,a))<eps) return Point(-1e9,-1e9); db t=Cross(b,c)/Cross(b,a); return a1+a*t; }
void Tubao1()//按x,y排序求凸包 { sort(P+1,P+n+1); st[++Top]=P[1]; for(int i=2;i<=n;st[++Top]=P[i],i++) while(Top>1&& Cross(P[i]-st[Top-1],st[Top]-st[Top-1])>-eps ) Top--; //此处忽略加入凸包集合的代码 st[Top=1]=p[n]; for(int i=n-1;i;st[++Top]=P[i],i--) while(Top>1 && Cross(P[i]-st[Top-1],st[Top]-st[Top-1])>-eps ) Top--; //此处忽略加入凸包集合的代码 }
inline bool cmp(const Point &A,const Point &B) { return Cross(A,B)>0||( Cross(A,B)==0&&Length(A)<Length(B) ); }//按极角排序
void Tubao2()//按极角求凸包 { sort(P+1,P+n+1); for(int i=1;i<=n;i++) A[i]=A[i]-A[1]; sort(P+1,P+n+1,cmp); for(int i=1;i<=n;st[++Top]=P[i],i++) while(Top>1 && Cross(P[i]-st[Top-1],st[Top]-st[Top-1])>-eps ) Top--; n=Top; for(int i=1;i<=n;i++) P[i]=st[i]; }
inline bool Is_Point_In_Polygon(Point P,Point *poly)//判断点是否在多边形内 { /*从下往上穿过射线的边包含起点不包含终点 从上往下穿过射线的边包含终点不包含起点 这样若穿过的端点所在的两边同向则只被计算一次 若穿过的端点所在的边反向则要么一次都不计算，要么直接算两次*/ int cnt=0; for(int i=1;i<=n;i++) { if(In_Line(P,poly[i],poly[i%n+1])) return 1; int k=dcmp( Cross(poly[i%n+1]-poly[i],P-poly[i]) ); int d1=dcmp(poly[i].y-P.y); int d2=dcmp(poly[i%n+1].y-P.y); if(k>0&&d1<=0&&d2>0) cnt++; if(k<0&&d2<=0&&d1>0) cnt++; } return cnt&1; }
inline bool Is_Point_In_Tubao(Point P,Point *poly)//判断点P是否在凸包内,此处凸包按极角排序,poly[1]=(0,0) { if(Cross(P,poly[1])>eps||Cross(poly[n],P)>eps) return 0; ll pos=lower_bound(poly+1,poly+n+1,P,cmp)-poly-1; return dcmp( Cross(P-poly[pos],poly[pos%n+1]-poly[pos]) )<=0; }
inline db Get_Area(Point *poly)//求多边形面积,此处多边形按极角排序 { db res=0; for(int i=2;i<n;i++) res+=Cross(poly[i]-poly[1],poly[i+1]-poly[1]); return res/2; }
inline Point Get_Triangle_Center_of_gravity(Point A,Point B,Point C) { return Point((A.x+B.x+C.x)/3,(A.y+B.y+C.y)/3); }
struct Line {//定义有向直线 Point p,v; db ang; Line (Point A,Point B) { p=A,v=B; ang=atan2(v.y,v.x); } inline bool Is_Right(Point G) { return Cross(G-p,v)>0; }//判断G是否在直线右边 };
inline bool cmp2(Line &A,Line &B) { return dcmp(A.ang-B.ang)!=0 ? A.ang<B.ang : B.Is_Right(A.p); }//把直线按极角排序
inline Point Intersection(Line A,Line B)//求直线交点 { Point u=A.p-B.p,v=A.v,w=B.v; db t=Cross(w,u)/Cross(v,w); return A.p+A.v*t; }
void Get_Half_Plane_Intersection(Line *P)//半平面交 { sort(P+1,P+n+1,cmp2); int m=n,L=1,R=0; n=0; for(int i=1;i<=m;i++) if( dcmp(P[i].ang-P[i+1].ang)!=0||i==m ) P[++n]=P[i]; for(int i=1;i<=n;i++) { while(L<R && P[i].Is_Right(Intersection(Q[R],Q[R-1])) ) R--; while(L<R && P[i].Is_Right(Intersection(Q[L],Q[L+1])) ) L++; Q[++R]=P[i]; } while(L<R && Q[L].Is_Right(Intersection(Q[R],Q[R-1])) ) R--; while(L<R && Q[R].Is_Right(Intersection(Q[L],Q[L+1])) ) L++; n=0; Q[R+1]=Q[L]; for(int i=L;i<=R;i++) P[++n]=Intersection(Q[i],Q[i+1]); }
inline db Get_Triangle_Area(Point A,Point B,Point C) {//求三角形面积
return fabs(Cross(B-A,C-A)/2);
}
//旋转卡壳 void RotatingCaliper_diameter(Point *poly) { db res=0; for(int i=1,p=1;i<=n;i++) { //可以同时卡多个点 while( Get_Triangle_Area(poly[i],poly[i+1],poly[p%n+1]) >= Get_Triangle_Area(poly[i],poly[i+1],poly[p]) ) p=p%n+1; res=max(res, max(Length(poly[p]-poly[i]),Length(poly[p]-poly[i+1])) ); } }
//最小圆覆盖 inline Point Roatate_90_Angle(Point A) { return Point(A.y,-A.x); } struct Circle {//定义圆 Point O; db r; Circle (Point a,db b=0) { O=a,r=b; } inline bool Is_Out_Of_Circle(Point G) { return r*r<Dot(O-G,O-G); } }; Circle Get_Circle(Point A,Point B,Point C)//由三点确定一个圆 { Line p1=Line((A+B)*0.5,Roatate_90_Angle(B-A)); Line p2=Line((B+C)*0.5,Roatate_90_Angle(B-C)); Point O=Intersection(p1,p2); return Circle(O,sqrt(Dot(O-A,O-A))); } void Get_Minest_Cricle(Point *P)//主过程 { random_shuffle(P+1,P+n+1); for(int i=1;i<=n;i++) { if(!C.Is_Out_Of_Circle(P[i])) continue; C=Circle(P[i],0); for(int j=1;j<i;j++) { if(!C.Is_Out_Of_Circle(P[j])) continue; C=Circle( (P[i]+P[j])*0.5 , sqrt(Dot(P[i]-P[j],P[i]-P[j]))*0.5 ); for(int k=1;k<j;k++) if(C.Is_Out_Of_Circle(P[k])) C=Get_Circle(P[i],P[j],P[k]); } } }
欧拉函数
$\varphi (n)=n\cdot \frac{\prod_{i=1}^{k}P_i-1 }{\prod_{i=1}^{k}P_i }$
证明过程：把 $n$ 唯一分解可得：
$\varphi (n)=\varphi (\prod _{i=1}^k\prod _{j=1}^{a_i}P_i)$
因为如果A,B互质，$\varphi (AB)=\varphi (A)\varphi (B)$
所以
$\varphi (\prod _{i=1}^k\prod _{j=1}^{a_i}P_i) =\prod _{i=1}^{k}\varphi(P_i^{a_i})$
因为 $\varphi(P^a)=(P-1)\cdot P^{a-1}$（可以参考欧拉筛的过程）
所以
$\prod _{i=1}^k\varphi(P_i^{a_i}) =\prod _{i=1}^k((P_i-1)P^{a_i-1})=\frac{\prod _{i=1}^k((P_i-1)P_{i}^{a_i})}{\prod _{i=1}^kP_i}$
把分子稍微拆开一下
$\frac{\prod _{i=1}^k((P_i-1)P_{i}^{a_i})}{\prod _{i=1}^kP_i}=\frac{\prod _{i=1}^k(P_i-1)\prod _{i=1}^kP_{i}^{a_i}}{\prod _{i=1}^{k}P_i}$
然后发现分子后面一部分就是 $n$，所以原式就是
$\frac{\prod _{i=1}^k(P_i-1)\cdot n}{\prod _{i=1}^{k}P_i}$
$\varphi (n)=n\cdot \frac{\prod_{i=1}^{k}P_i-1 }{\prod_{i=1}^{k}P_i }$
然后根据这个式子我们可以推出：
$\varphi (xy)=\frac{\varphi(x)\varphi(y)d }{\varphi(d) } \ ,d=gcd(x,y)$
（待续）
