P5504 [JSOI2011]柠檬

传送门

显然考虑 $dp$ ，发现从右往左和从左往右是一样的，所以只考虑一边就行

发现对于切的左右端点，选择的 $s0$ 一定要为左右端点的贝壳大小，不然这个端点不产生贡献还不如分开来单个贡献

所以设 $f[i]$ 表示当前把 $1$ 到 $i$ 的都切了，产生的最大贡献，设 $c[i]$ 表示位置 $i$ 及之前大小为 $s[i]$ 的柠檬个数，有转移：

$f[i]=f[j-1]+s[i](c[i]-c[j]+1)^2,j \in [1,i]$，并且要满足 $s[i]=s[j]$ ，发现是个斜率优化的式子，拆开来：

$f[i]=f[j-1]+s[i](c[i]^2-2c[i](c[j]-1)+(c[j]-1)^2)$，再拆，变成

$f[j-1]+s[i](c[j]-1)^2=2s[i]c[i](c[j]-1)+f[i]-s[i]c[i]^2$，因为转移都是在同一个大小之间转移，所以 $s[i]$ 可以看成常数

所以 $y=f[j-1]+s[i](c[j]-1)^2$，$k=2s[i]c[i]$，$x=c[j]-1$，$b=f[i]-s[i]c[i]^2$，对每种 $s$ 都维护一个凸包即可

显然对于同一个 $s$， $k,x$ 都单调递增，并且求 $max$ ，所以维护上凸包

插点时从右边插，更新 $f$ 时也切凸包右边，用 $vector$ 维护凸包即可

注意先加当前点再更新 $f$（$j \in [1,i]$）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ldb;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int N=2e5+7,M=2e4+7;
int n,s[N],c[N],cnt[M];
ll f[N];
struct Vec{//向量
    ldb x,y;
    Vec (ll a=0,ll b=0) { x=a,y=b; }
    inline ldb operator * (const Vec &tmp) const {
        return x*tmp.y-y*tmp.x;
    }
};
struct Poi{//凸包点
    ll f; int cj,s;
    Poi (ll a=0,int b=0,int c=0) { f=a,cj=b,s=c; }
    inline ll calc(int i) { return f+1ll*s*(c[i]-cj+1)*(c[i]-cj+1); }
    inline ll X() { return 1ll*s*(cj-1); }
    inline ll Y() { return f+1ll*s*(cj-1)*(cj-1); }
};
inline Vec operator - (Poi &A,Poi &B) {
    return Vec( A.X()-B.X() , A.Y()-B.Y() );
}
vector <Poi> st[M];//每种s维护凸包
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        s[i]=read(),c[i]=++cnt[s[i]];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        Poi t(f[i-1],c[i],s[i]); int len=st[s[i]].size()-1;
        while( len>0 && (st[s[i]][len]-st[s[i]][len-1])*(t-st[s[i]][len-1])>=0 ) st[s[i]].pop_back(),len--;
        st[s[i]].push_back(t); len++;//先插入
        while( len>0 && st[s[i]][len].calc(i) <= st[s[i]][len-1].calc(i) ) st[s[i]].pop_back(),len--;
        f[i]=st[s[i]][len].calc(i);//再更新
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}