P3455 [POI2007]ZAP-Queries

传送门

首先对于询问 $x,a,b$ 答案就是 $f[x]=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}[gcd(i,j)==x]$

看到 $gcd(i,j)$，莫比乌斯反演走起

设 $F[x]=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}[x|gcd(i,j)]$

那么有 $F[x]=\sum_{x|d}f[d]$ 且考虑 $F[x]$ 的意义发现 $F[x]=\left \lfloor \frac{a}{x} \right \rfloor \left \lfloor \frac{b}{x} \right \rfloor$

直接反演：$f[x]=\sum_{x|d}\mu (d/x)F[d]=\sum_{x|d}\mu (d/x)\left \lfloor \frac{a}{d} \right \rfloor \left \lfloor \frac{b}{d} \right \rfloor$

考虑枚举 $x$ 的倍数 $k$，那么：$f[x]=\sum_{k}\mu(k)\left \lfloor \frac{a}{kx} \right \rfloor\left \lfloor \frac{b}{kx} \right \rfloor$

因为 $\left \lfloor \frac{a}{kx} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{\left \lfloor \frac{a}{x} \right \rfloor}{k} \right \rfloor$

所以 $f[x]==\sum_{k}\mu(k)\left \lfloor \frac{\left \lfloor \frac{a}{x} \right \rfloor}{k} \right \rfloor\left \lfloor \frac{\left \lfloor \frac{b}{x} \right \rfloor}{k} \right \rfloor$

然后直接数论分块就好了，单次询问复杂度 $O( \sqrt (n) )$

总复杂度 $O(n \sqrt (n) )$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int N=2e6+7,M=5e4;
int Q,n,m,d,pri[N],mu[N],sum[N],tot;
ll f[N],F[N],ans;
bool not_pri[N];
void pre()
{
    not_pri[1]=1; mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=M;i++)
    {
        if(!not_pri[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=tot;j++)
        {
            ll t=1ll*i*pri[j]; if(t>M) break;
            not_pri[t]=1; if(!(i%pri[j])) break;
            mu[t]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=M;i++) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
int main()
{
    Q=read(); pre();
    while(Q--)
    {
        n=read(),m=read(),d=read();
        n/=d; m/=d; int mx=min(n,m); ans=0;
        for(int l=1,r=0;l<=mx;l=r+1)
        {
            r=min(mx, min(n/(n/l),m/(m/l)) );
            ans+=1ll*(sum[r]-sum[l-1])*(n/l)*(m/l);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}