P4859 已经没有什么好害怕的了

传送门

见计数想容斥

首先题目可以简单转化一下， 求 糖果比药片能量大的组数比药片比糖果能量大的组数多 $k$ 组 的方案数

因为所有能量各不相同，所以就相当于求 糖果比药片能量大的组数为 $(n+k)/2$ 组的方案数，如果 $(n+k)$ 为奇数则无解

发现这个 '恰好' 很不好算，考虑先算出 '至少'，设 $F[i]$ 表示至少有 $i$ 对糖果比药片大的方案数

那么就是要强制选 $i$ 对糖果比药片大，然后再随便选，发现这个强制选 $i$ 对糖果比药片大的方案数也不好算..

考虑先把糖果和药片排序，然后 $dp$

设 $f[i][j]$ 表示从小到大前 $i$ 个糖果，和药片匹配了 $j$ 对的方案数

那么 $f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]*(g[i]-j+1)$，其中 $g[i]$ 表示比糖果 $i$ 能量小的药片的数量

然后 $f[n][i]$ 就是强制选 $i$ 对糖果比药片大的方案数，因为剩下的随便选，所以剩下方案数就是 $(n-i)!$

所以 $F[i]=f[n][i]*(n-i)!$（注意这里的 $F[i]$ 中其实有些方案是重复算了）

设恰好 $i$ 对糖果比药片大的方案数为 $ans[i]$，可以（不能）发现，对于 $F[i]=f[n][i]*(n-i)!$

$F[i]=\sum_{j=i}^{n}C_{j}^{i}\cdot ans[j]$ （乘 $C_{j}^{i}$ 是因为有重复算）

所以逆推 $ans[i]$，$ans[i]=F[i]-\sum_{j=i+1}^{n}C_{j}^{i}ans[j]$

然后就可以算了

具体看代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int N=2007,mo=1e9+9;
int n,K;
int A[N],B[N],fac[N],C[N][N];
int cnt[N],f[N][N],ans[N];//cnt[i]是比糖果i小的药片的数量
inline int fk(int x) { return x>=mo ? x-mo : x; }
int main()
{
    n=read(),K=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) A[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) B[i]=read();
    sort(A+1,A+n+1); sort(B+1,B+n+1);
    if((n+K)&1) { printf("0"); return 0; }//判断无解
    int p=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cnt[i]=cnt[i-1];
        while(p<=n&&A[i]>B[p]) cnt[i]++,p++;
    }
    for(int i=0;i<=n;i++) f[i][0]=1;//初始化
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++) f[i][j]=fk(f[i-1][j] + 1ll*(cnt[i]-j+1)*f[i-1][j-1]%mo );//dp
    fac[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mo;//求阶乘
    C[0][0]=1;
    for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=n;j++)
        {
            C[i+1][j]=fk(C[i+1][j]+C[i][j]);
            C[i+1][j+1]=fk(C[i+1][j+1]+C[i][j]);//求组合数
        }
    for(int i=n;i>=(n+K)>>1;i--)//逆推ans
    {
        ans[i]=1ll*f[n][i]*fac[n-i]%mo;
        for(int j=i+1;j<=n;j++) ans[i]=fk(ans[i]-1ll*C[j][i]*ans[j]%mo+mo);
    }
    printf("%d",ans[(n+K)>>1]);
    return 0;
}