P2877 [USACO07JAN]牛校Cow School
$01$规划
$01$规划优质讲解：传送门
考虑先将每一科按 $t/p$ 从小到大排序，枚举每一个 $D$（删除的考试数量）
显然一开始的成绩是 $\frac{\sum_{i=d+1}^nt[i]}{\sum_{i=d+1}^{n}p[i]}$，设它为 $st[D]/sp[D]$
然后根据$01$规划的套路考虑把所有的成绩 $t[i]$ 减去 $st[D]/sp[D]*p[i]$
这样做了以后，如果可以使成绩更优，那么说明区间 $[d+1,n]$ 的 $t[i]$ 的最小值小于区间 $[1,d]$ 的 $t[i]$ 的最大值
（就是说我们本来可以选一个区间 $[1,d]$ 的更优的数，但是被删掉了）
然后就有一个 $n^2$ 的算法，枚举 $D$，然后把 $t$ 按套路操作，然后求 $[1,d]$ 区间最大值，$[d+1,n]$ 区间最小值，比较一下就好了
接下来，发现有很多东西是冗余的，没有必要每次都重新算，考虑 $D$ 的变化产生的影响
想想前面枚举完一个 $D$ 了以后要干嘛，求区间 $[d+1,n]$ 的 $t[i]-st[D]/sp[D]*p[i]$ 的最小值，
求区间 $[1,d]$ 的 $t[i]-st[D]/sp[D]*p[i]$ 的最大值。
设 $f[i]$ 表示区间 $[1,i]$，$t$ 变换后的最大值，那么显然 $f[i]=max(t[j]-st[i]/sp[i]*p[j])\ ,\ j \in [1,i]$，
发现好像可以斜率优化？
$st[i]/sp[i]*p[j]+f[i]=t[j]$，那么 $k=st[i]/sp[i],x=p[j],b=f[i],y=t[j] $，原式就变成了 $kx+b=y$ 的形式，可以斜率优化！
同样的设 $g[i]$ 表示区间 $[i+1,n]$，$t$ 变换后的最小值，那么 $g[i]=min(t[j]-st[i]/sp[i]*p[j]),\ j \in [i+1,n]$，同样可以斜率优化
可以发现，随着 $i$ 的增加 $k=st[i]/sp[i]$ 是不降的，但是显然 $x$ 是不单调的
所以我无脑强行上了两遍 $CDQ$ 求 $f$ 和 $g$，貌似有 $O(n)$ 用 $Graham$ 维护凸包的更优解法？
最后枚举 $D$ ，比较一下 $f[d]$ 和 $g[d]$ 的大小关系就好啦
具体可以看代码来理解
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> #include<cstring> #include<vector> using namespace std; typedef long long ll; typedef double db; inline int read() { int x=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); } return x*f; } const int N=2e5+7; const ll INF=1e18; int n,st[N],sp[N]; db f[N],g[N]; struct nod {//存每一科的数据 int p,t;//分母，分子 inline bool operator < (const nod &tmp) const {//按分子除分母排序 return t*tmp.p<tmp.t*p;//避免除法，用等价的乘法是好习惯 } }d[N]; struct Poi {//斜率优化的点 （或向量） int x,y; Poi (int x=0,int y=0) : x(x) , y(y) {} inline Poi operator - (const Poi &tmp) const {//点减点就是向量，用向量维护凸包可以避免精度问题，速度也快 return Poi(x-tmp.x,y-tmp.y); } }T[N],tmp[N]; int Q[N];//存当前凸包 inline ll Cross(Poi A,Poi B) { return 1ll*A.x*B.y-1ll*B.x*A.y; }//向量叉积维护凸包 inline db calc(int i,int j) { return 1.0*T[j].y-1.0*st[i]/sp[i]*T[j].x; }//计算dp值 inline void merge(int l,int r,int mid)//按x归并排序 { int pl=l,pr=mid+1; for(int p=l;p<=r;p++) { if( pl<=mid && (pr>r||T[pl].x<T[pr].x) ) tmp[p]=T[pl++]; else tmp[p]=T[pr++]; } for(int p=l;p<=r;p++) T[p]=tmp[p]; } void CDQ_f(int l,int r)//CDQ求f，求i属于[l,r]的f[i]值 { if(l==r) { f[l]=max(f[l],calc(l,l)); return; }//当前区间只有一个点了，用自己更新自己 int mid=l+r>>1,L=1,R=0; CDQ_f(l,mid);//先处理左边[l,mid]的所有f //此时左边所有点已经按x排好序了 for(int i=l;i<=mid;i++)//维护左边所有点的凸包 { while( L<R && Cross(T[i]-T[Q[R-1]],T[Q[R]]-T[Q[R-1]])<=0 ) R--; Q[++R]=i; } for(int i=mid+1;i<=r;i++)//斜率有序，直接用刚刚维护好的凸包更新[mid+1,r]的f { while( L<R && calc(i,Q[R-1])>=calc(i,Q[R]) ) R--; int j=Q[R]; f[i]=max(f[i],calc(i,j)); } CDQ_f(mid+1,r); merge(l,r,mid);//处理完记得按x排序 } void CDQ_g(int l,int r)//处理g同理 { if(l==r) return;//注意g[i]的区间不包含i (i<j<=n) int mid=l+r>>1,L=1,R=0; CDQ_g(mid+1,r);//注意现在是先处理右边的g了 for(int i=mid+1;i<=r;i++)//维护右边的凸包 { while( L<R && Cross(T[i]-T[Q[R-1]],T[Q[R]]-T[Q[R-1]])>=0 ) R--; Q[++R]=i; } for(int i=l;i<=mid;i++)//更新左边 { while( L<R && calc(i,Q[L])>=calc(i,Q[L+1]) ) L++; int j=Q[L]; g[i]=min(g[i],calc(i,j)); } CDQ_g(l,mid); merge(l,r,mid);//同样记得merge } vector <int> ans;//维护答案 int main() { n=read(); for(int i=1;i<=n;i++) d[i].t=read(),d[i].p=read(); sort(d+1,d+n+1);//先按t/p排序 for(int i=n-1;i;i--) { st[i]=st[i+1]+d[i+1].t; sp[i]=sp[i+1]+d[i+1].p; }//求出st,sp for(int i=1;i<=n;i++) { T[i]=Poi(d[i].p,d[i].t);//初始化点 f[i]=-INF; g[i]=INF;//注意初始值 } //斜率有序 CDQ_f(1,n); for(int i=1;i<=n;i++) T[i]=Poi(d[i].p,d[i].t);//记得还原回初始值 CDQ_g(1,n); for(int i=1;i<=n;i++)//枚举d,更新ans if(f[i]>g[i]) ans.push_back(i); int len=ans.size(); printf("%d\n",len); for(int i=0;i<len;i++) printf("%d\n",ans[i]); return 0; } /* f[i]=T[j]-st[i]/sp[i]*P[j] j<=i st[i]/sp[i]*P[j]+f[i]=T[j] j<=i k=st[i]/sp[i],x=P[j],b=f[i],y=T[j] max,维护上凸包 g[i]=T[j]-st[i]/sp[i]*P[j] j>i st[i]/sp[i]*P[j]+g[i]=T[j] j>i min,维护下凸包 */
