有向图，竞赛图和强竞赛图的一些性质
有向图，竞赛图和强竞赛图的一些性质
定义
定义弱连通（有向）图为将所有边替换为无向边（称之为基图）之后连通的有向图。
定义半连通图为对于任意节点\(u,v\)，存在路径\(u\rightarrow v\)或\(v\rightarrow u\)。
定义强连通图为对于任意节点\(u,v\)，存在路径\(u\rightarrow v\)与\(v\rightarrow u\)。
定义竞赛图是一种有向简单图，每对顶点\(u,v\)存在边\((u,v)\)或\((v,u)\)，名称来源于体育锦标赛，将边从胜者连向败者(?)。
定义强竞赛图是强连通的竞赛图。
定义图的欧拉路径是经过图中所有边恰一次的路径。
定义图的欧拉回路是首尾相连的欧拉路径。
定义图的\(\text{Hamiliton Walk}\)为经过图中所有节点的一条路径（注意不一定经过所有边），为方便下文称之为哈密顿遍历。（注意：这不是正式翻译）
定义一条\(\text{Hamiliton Walk}\)路径\(\text P\)的长度为其经过节点的数量，其中经过多次算相应次数，记作\(\text{Length(P)}\).
我们称从\(u\)开始，结束在\(v\)的一条哈密顿遍历为\(u-v\)哈密顿遍历。
定义闭合\((\text {Closed})\)\(\text{Hamiliton Walk}\)为首尾相连的\(\text{Hamiliton Walk}\)，即\(u-u\)哈密顿遍历，这里称作哈密顿圈。
定义\(\text{Hamiliton Path}\)为长度等于图点数\(n\)的哈密顿遍历，一般翻译为哈密顿路径。
定义\(\text{Hamiliton Circuit}\)为长度等于\(n\)的闭合哈密顿圈，一般翻译为哈密顿回路。
定理
定理1
一个有向图是强连通的当且仅当其存在闭合哈密顿遍历。
证明：
必要性显然，下证充分性。
考虑一个强连通的有向图必然存在\(1\rightarrow 2,2\rightarrow 3,\ldots,n-1\rightarrow n,n\rightarrow 1\)的路径，连起来即成为一个闭合哈密顿遍历，证毕。
定理2
一个非平凡有向强连通图\(\text G\)存在欧拉回路当且仅当每个点的入度等于出度。
证明：
充分性显然，下证必要性。
考虑数学归纳法。
\(n=1\)显然成立。
考虑\(n\leq k\)时成立，下证\(n=k+1\)时成立。
因为\(\text G\)强连通，所以其必定存在一个环。
我们删去这个环，图将变为若干个连通块，对于每个连通块内部，每个点的入度和出度相等。
于是我们用这个环和每个连通块内部的欧拉回路相连即可得到新的欧拉回路。
定理3
一个非平凡连通图\(\text G\)存在强定向（即定向每条无向边使得得到的有向图强连通）当且仅当\(\text G\)是双连通的。
证明：
充分性：如果图不是双连通的，则切断桥之后的两个连通块不可能定向后强连通。
必要性：考虑\(\text {tarjan}\)算法的过程，我们定树边向下，定非树边向上即可。
定理4
定义一个竞赛图\(\text G\)是中转的当且仅当对于\(u,v,w\in V(G)\)若存在\((u,v)，(v,w)\)则存在\((u,w)\)
竞赛图是中转的当且仅当竞赛图中不存在环。
证明：
充分性：如果竞赛图中存在环，任取环上两个相邻的端点\(u,v\),假设存在环边\((u,v)\),根据中转的性质我们知道必然存在\((v,u)\)，矛盾。
必要性：假设竞赛图\(\text G\)中不存在环，假设\(\text G\)包含边\((u,v),(v,w)\)因为不存在环，所以不存在\((w,u)\)，有竞赛图的性质我们知道必然存在\((u,w)\)。
可以感性理解，一个竞赛图如果是中转的，那么如果\(u\)能打败\(v\),\(v\)能打败\(w\),就有\(u\)能打败\(w\),这证明了每个人的实力值是绝对的，我们可以根据两个人的实力值判断胜负。
存在一个环就会导致一个人的实力值小于自己的实力值，矛盾。
定理5
如果\(u\)是竞赛图\(\text {G}\)中出度最大的节点，那么它和所有节点的距离不超过\(2\).
证明：
假设存在点\(w\)使得\(dis(u,w)\ge 3\),考虑\(u\)与所有和\(u\)距离为\(1\)的节点(即与\(u\)距离不超过\(1\)的节点)构成一个集合\(\text S_1\)，显然不存在\(\text S_1\)向\(w\)的边。
那么必然存在\(w\)向\(\text S_1\)集合每个点的边，那么\(w\)的出度就是\(u\)的出度+1,矛盾。
定理6
所有竞赛图\(\text G\)包含一条哈密顿路径。
证明:
对于\(n=1,2\)显然成立。
当\(n\geq3\)时，假设命题已经对于\(n-1\)成立。
考虑任意\(v\in V(G)\),删去\(v\)则得到一个大小为\(n-1\)的图。
那么这个图中必定包含一个\(a-b\)哈密顿路径。
如果存在\((v,a)\)或\((b,v)\)我们已经得到了新的哈密顿路径。
否则，必然存在\((a,v)\)与\((v,b)\)。
定义进入\(v\)的边是\(1\)类边，离开\(v\)的边是\(2\)类边。
根据竞赛图的性质我们知道，在\(a-b\)哈密顿路径上的所有点都存在和\(a\)之间的\(1\)类边或\(2\)类边。
这组成了一个长为\(n-1\)的序列\(c_i\)，形如
\(1,\ldots,2\)。
显然其中必然存在相邻的\(1,2\)。
那么我们令\(c_{a'}=1,c_{b'}=2\),那么我们从中断开这条哈密顿路径，并连接\((a',v)\),\((v,b')\)即可得到一条新的哈密顿路径。
定理7
对于所有非平凡（即顶点数\(\geq3\)）的强竞赛图\(\text G\)，对于\(\forall v\in V(G)\),\(v\)属于某一个三角形。
证明：
考虑连接\(v\)的所有点的集合\(\text{in(v)}\),\(v\)连接的所有点\(\text {Out(v)}\),
因为\(\text G\)是强竞赛图，所以\(\text{in(v),out(v)}\neq\emptyset\),并且\({v}\cup\text {in(v)}\cup\text{out(v)}=V(G)\)。
假设\(v\)不属于任意一个三角形，
那么\(\text{out(v)}\)中不存在向\(\text{in(v)}\)的边,那么\(\text{out(v)}\)中的点均不能到达\(\text{in(v)}\)，矛盾。
定理8
定义任何一个有向图是泛圈的当且仅当对任意顶点\(v\),图中存在长度为\(3,4,\ldots,n\)且包含\(v\)的环。
\(\large\text{Moon theorem}\):
任何一个非平凡强竞赛图是泛圈的。
证明：
由定理7，对环长度归纳即可。
定理9
任何竞赛图包含一个哈密顿回路当且仅当它是强连通的。
证明：
充分性显然
必要性由\(\text{Moon theorem}\)直接得到。
