群论计数初步

群

我现在已经不认识群这个字了

定义

群\(\text{G}\)是定义在二元组\((S,\cdot)\)上的代数结构，其中\(S\)是一个集合,\(\Large\cdot\)是一个二元运算符。

定义\(\text{G}\)中元素个数为\(\text{G}\)的阶，记为\(|G|\)。

一般的，我们定义\(|G|\)为\(+\infin\)的群为无限群，否则称之为有限群。

在群\(\text{G}\)中,\(\forall a\in G\),若存在最小的\(k\in N^*\),满足\(a^k=e\),则称\(k\)是\(a\)的阶，记做\(|a|\)或\(\text{ord(a)}\)。

若\(\nexists k\in N^*\)满足\(a^k=e\)，即\(\forall k\in N^*,a^k\ne e\)，定义\(\text{ord(a)}=+\infin\)。

判定与性质

满足以下条件的二元组\(G=(S,\cdot)\)可以称作群。

1.封闭性:\(\large \forall x,y\in S,x\cdot y\in S\)

2.结合律:\(\large \forall x,y,z\in S,x\cdot(y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z\)

3.存在单位元:\(\large\exists e\in S ,\forall x\in S,e\cdot x=x\cdot e=x\)

4.存在逆元:\(\large\forall x \in S,\exists y \in S,x\cdot y=y\cdot x=e\)，一般记作\(x^{-1}\)。

在\(x\cdot y=e\)这个式子中，我们定义\(x\)为左逆元，\(y\)为右逆元。

则我们有结论:在群中，左逆元等于右逆元

证明：令\(x\)为\(\text{G}\)中任意一元素，\(\exists a\in G,a\cdot x=e\)，即\(a\)为\(x\)的左逆元。

上式左乘\(x\)有\(x\cdot a\cdot x=x\cdot e\)，即\(x\cdot a=x^{-1}\cdot e \cdot x=e\)，故\(a\)也为\(x\)的右逆元。

5.消去律:\(\large \forall x,y,a\in G,x=y\iff x\cdot a=y\cdot a\)

当\(S\)为有限集时，在满足封闭性，结合律，存在单位元的二元组\((S,\cdot)\)中，存在逆元\(\iff\)满足消去律

充分性显然，下证必要性。

\(\forall a \in S,\)构造新二元组\((S'=\{x\cdot a|x\in S\},\cdot)\)。根据封闭性，\(S'\subseteq S,\)

考虑到存在消去律，\(S'\)之间的元素必定不相同，否则\(x\cdot a=y\cdot a\rightarrow x=y\)，与\(S\)集合的互异性矛盾。

故\(|S|=|S'|\)，即\(S'=S\)

\(\therefore e\in S'\)

即\(\exists t\cdot a=e\)，得证。

在\(S\)为无限集时，存在逆元能推出满足消去律，反过来则不成立。

置换群

置换，轮换，对换

定义

有限集到自身的双射称之为置换,记做置换\(f=\begin{pmatrix}a_1,a_n,\ldots,a_n\\b_1,b_2,\ldots,b_n\end{pmatrix}\),其中\(a,b\)是长为\(n\)的排列,意义代表逐个将\(a_i\)映射到\(b_i\)。

置换的不动点是元素\(x\)满足\(f(x)=x\)。

当\(n\)相等时，置换可以相互运算，并称之为置换的连接，定义为置换间的乘法。

显然置换乘法满足结合律，但不满足交换律。

称\(I=f^0\)为全等置换（即\(a_i=b_i=i\)的置换)，将置换\(f\)上下倒置可以得到\(f^{-1}\)。

因此置换在置换乘法运算下构成置换群。

记一个\(n\)阶循环\((a_1,a_2,\ldots,a_n)=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\ldots,a_n\\a_2,a_3,\ldots,a_1\end{pmatrix}\)，循环也被称为轮换。

两个循环不相交指两个循环中没有相同的元素。

对换是长度为\(2\)的轮换,记做\((a_x,a_y)\)。

我们称可以表述成偶数个对换的乘积的置换为偶置换，否则称之为奇置换。

性质

1.任意一个置换可以表示成若干个不相交循环的乘积。

2.\(f^{-1}\)和\(f\)中各循环的元素和循环的个数相同。

3.\(\text{ord}(f)=\operatorname{lcm}(a_1,a_2,\ldots,a_n)\)，其中\(a_i\)代表第\(i\)个轮换的长度（循环节大小）。

4.容易验证置换在置换乘法下，有通常的奇偶性质。(即奇奇得偶之类的性质)

轨道，稳定子集，稳定化子

定义

原集合元素\(k\)，在置换群\(\text{G}\)中所有置换作用下像的集合叫做\(k\)的轨道(orbit)，也称\(k\)等价类，记作\(k^G\)（或\(\text{orbit}(k)\),\(k\)等价类\(E_k\)）。

置换群\(\text{G}\)中使\(S\)的某个子集\(A\)中所有元素不动的置换构成的子集叫做\(A\)的一个稳定子集或稳定集(stable set)。

特别的,当\(|A|=1\)时，使\(S\)的某个元素\(k\)不动的置换构成的子集叫做\(k\)的稳定化子(stabilizer),记作\(G_k\)（或\(\text{stab(k)}\)，\(k\)不动置换\(Z_k\)）

陪集

定义

设\(\text{H}\)是\(\text{G}\)的一个子群，对于\(a\in G,\{a\cdot x,x \in H\}\)表示\(\text{H}\)的一个左陪集，记作\(aH\);\(a\in G,\{x\cdot a,x \in H\}\)表示\(\text H\)的一个右陪集，记作\(Ha\)

性质

由于左右陪集证明方法相似，故除特殊说明，下面证明仅讨论都仅考虑左陪集的情况。

1.\(\forall a\in G,|aH|=|H|\)

根据\(\text G\)中的消去律,\(\text H\)是\(\text G\)的一个子群,因此，\(\forall a\in G,\nexists x,y\in H\subseteq G,a\cdot x=a\cdot y\)。

2.\(a\in aH\)

\(\because e\in H,\therefore a=a\cdot e\in aH\)

3.\(a\in H\iff aH=H\)

必要性

\(\because aH=H,\therefore a\in aH=H\)

充分性

\(\because a\in H\)

\(\therefore \forall b\in H,a^{-1}b\in H\rightarrow b\in aH\)

\(\therefore aH\supseteq H\)

结合性质1可知\(aH=H\)

4.\(b\in aH\iff bH=aH\)

\(bH=aH\iff a^{-1}bH=H\iff a^{-1}b\in H(性质3)\iff b\in aH\)

5.\(aH\cap bH\neq\emptyset\iff aH=bH\)

\(\therefore c\in aH\cap bH\)，则\(c\in aH,c\in bH,\therefore cH=aH=bH\)

6.\(\cup_{a\in G}aH=G\)

考虑到\(a\in aH\)，显然成立

群论的基础定理

拉格朗日定理

设\(\text H\)是有限群\(\text G\)的子群,则H的阶整除G的阶。

即\(\frac {|G|}{|H|}=H\)不同的陪集数。

证明

考虑由性质五，不同的陪集无交，大小均为\(|\text H|\)，而陪集并为\(\text G\)，故成立。

轨道-稳定化子定理(\(\text{orbit-stabilizer theorem}\))

对于一个置换群\(\text G\)和元素\(k\)有\(|k^G|*|G_k|=|G|\)

证明

\(\because f_1,f_2\in G_k,(f_1\cdot f_2)(k)=k\)

所以\(G_k\)满足封闭性

\(e(k)=k\rightarrow e\in G_k\)

所以\(G_k\)存在单位元

我们已知置换乘法满足封闭性和消去律,而\(G_k\)是有限群。

所以\(G_k\)在置换乘法下构成群，\(G_k\in G\)。

考虑所有置换\(f\in G\),因为\(\forall s\in G_k,s(k)=k\),所以\(\forall s\in fG_k,s(k)=f(k)\)，即，对于所有\(G_k\)的左陪集\(fG_k\)中的置换，作用于\(k\)的像和\(f\)对\(k\)的像相同。

所以\(G_k\)不同的左陪集\(fG_k\)的数量即为不同的\(k\)的像数量\(|k^G|\)

由拉格朗日定理，证毕。

\(\text{Burnside}\)引理

令\(\text G\)是目标集\([1,n]\)上的置换群，\(c(f)\)表示在置换\(f\)下不动点的个数。

设\(\text G\)将\([1,n]\)划分为\(L\)个等价类,则

\[L=\frac 1{|G|}\sum\limits_{f\in G}c(f) \]

证明

每个轨道对答案贡献为\(1\),所以每个点对答案的贡献是\(\frac 1{orbit(k)}\)。

由轨道-稳定化子定理，

\[L=\sum\limits_k\frac 1{|k^G|}=\sum\limits_k\frac {|G_k|}{|G|}=\frac{\sum_k|G_k|}{|G|} \]

考虑到，令\(d_{i,j}\)表示点\(i\)在置换\(j\)下是否不变，\(k\)不动置换其实是横着对点\(k\)这一行求和，那么我们现在对列求和，那就是枚举\(f\)，我们自然得到\(c(f)\),于是有

\[L=\frac{\sum_k|G_k|}{|G|}=\frac 1{|G|}\sum\limits_{f\in G}c(f) \]

\(\text{P}\acute{\text{o}}\text{lya}\)定理

令\(\text G\)是目标集\([1,n]\)上的置换群，\(m(f)\)表示在置换\(f\)中轮换的个数，设\(x\)是目标集的排列为元素形成的集合，如果将\([1,n]\)用\(k\)种颜色分别染色。

设\(G\)将\(x\)划分为\(L\)个等价类，则

\[L=\dfrac{1}{|G|}\sum_{f\in G}k^{m(f)} \]

证明

如果在置换\(f\)作用下方案不变，那么必须在同一个轮换上使用一种颜色，此时的不动点个数为\(k^{m(f)}\)，由\(\text{Burnside}\)引理，证毕。