二分图博弈

二分图博弈

简单的模型:

二分图分为\(A,B\)两个部分。

初始节点\(S\)在\(A\)中，每次可以沿着边移动。

先手希望停在\(B\),后手希望停在\(A\)。

定理

先手必胜当且仅当任何一个最大匹配方案都包含初始状态

证明

充分：先手每次可以走一条匹配边过去，后手只能走非匹配边回来，而因为不存在增广路，先手一定又可以走匹配边过去。最终一定停在\(B\)

必要:如果某个最大匹配方案不包含\(S\),则对面的节点一定总在最大匹配中，否则就可以连一条边。然后你走过去之后就对方变为先手，根据先前的充分性证明，则对方必定胜利。

判定

方法一:删除这个节点，跑一遍最大匹配。如果答案没变就是不必要的。

方法二:从初始节点\(dfs\)，如果能找到同侧的非匹配点就可以一路替换，那就是不必要的，\(\text{vice versa}\)。