Miller Rabin算法学习笔记

$Miller\ Rabin$算法学习笔记

$Miller\ Rabin$是一种快速的随机化的素数测定方法。

它基于以下定理

二次探测定理：若$x^2\equiv1\pmod p$,则$x\equiv±1\pmod p$

证明大概就是$(x-1)(x+1)\equiv0\pmod p$

然后我们选取一个底$a$,设你当前要判断的数为$x$

初始我们判断$a^{x-1}$是否为$1$，不是判定$x$为合数

然后判断$a^{\frac {x-1}2}$是否为$1$或$p-1$，不是判定$x$为合数

如此反复，直到指数是奇数或余数为$p-1$为止。

于是此时我们就认为$x$通过了基于$a$为底的测试。

一次测试错误率大概是$\frac 14$

多次测试的错误率一般认为是$\frac 1{4^x}$的，可以接受。

代码就直接模拟就可以了。

$upd:$我们可以优化一下，从后往前检测，如果其中有一个通过了二次探测，就判定$x$是质数。

优化后代码：

/*bool Test(ll a,ll x)
{
	if(a>=x)return 1;
	ll ret=qpow(a,x-1,x),s=x^1;
	while(ret==1&&!(s&1))s>>=1,ret=qpow(a,s,x);
	return ret==1||ret==(x^1);
}*/
bool Test(ll a,ll x)
{
	if(a>=x)return 1;
	ll ret,s=x^1;
	int p=__builtin_ctzll(s);
	ret=qpow(a,s>>p,x);
	if(ret==1||ret==(x^1))return 1;
	while(p--&&ret!=(x^1))ret=mul(ret,ret,x);
	return p>=0;
}
int lst[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23};
bool Miller_Rabin(ll x)
{
	if(x==1)return 0;
	if(x==2)return 1;
	if(x&1)
	{
		for(int i=0;i<9;++i)if(!Test(lst[i],x))return 0;
		return 1;
	}
	return 0;
}

$2st\ upd:$在一般是选$2,3,7,61,24251$为基底，此时在$1e16$内只有$46856248255981$是强伪素数。