【APIO2014】Split the sequence

\(ProblemLink\)

题意

你正在玩一个关于长度为\(n\)的非负整数序列的游戏。这个游戏中你需要把序列分成 \(k+1\) 个非空的块。为了得到 \(k+1\)块，你需要重复下面的操作\(k\)次：

1. 选择一个有超过一个元素的块（初始时你只有一块，即整个序列）
2. 选择两个相邻元素把这个块从中间分开，得到两个非空的块。

每次操作后你将获得那两个新产生的块的元素和的乘积的分数。你想要最大化最后的总得分。

Solution

显然每一对\(i, j\), 如果它们不在同一个块中, 就会产生 \(a_i*a_j\) 的贡献.

显然有\(\Large f_{p,i}=\max({f_{p-1,j}}+s_j(s_i-s_j))\)

设转移\(j,k\),j优于k

\(j<k\)

\(\large f_{p-1,j}+(s_j*(s_i-s_j))>f_{p-1,k}+(s_k*(s_i-s_k))\)

\(\large f_{p-1,j}-s_j^2+s_is_j>f_{p-1,k}-s_k^2+s_is_k\)

\(\huge s_i>\frac{f_{p-1,k}- f_{p-1,j}+s_j^2-s_k^2}{s_j-s_k}\)

直接上斜率优化即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define IL inline
#define RG register
#define gi geti<int>()
#define gl geti<ll>()
#define gc getchar()
#define File(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout)
template<typename T>IL bool chkmax(T &x,const T &y){return x<y?x=y,1:0;}
template<typename T>IL bool chkmin(T &x,const T &y){return x>y?x=y,1:0;}
template<typename T>
IL T geti()
{
	RG T xi=0;
	RG char ch=gc;
	bool f=0;
	while(!isdigit(ch))ch=='-'?f=1:f,ch=gc;
	while(isdigit(ch))xi=xi*10+ch-48,ch=gc;
	return f?-xi:xi;
}
template<typename T>
IL void pi(T k,char ch=0)
{
	if(k<0)k=-k,putchar('-');
	if(k>=10)pi(k/10);
	putchar(k%10+'0');
	if(ch)putchar(ch);
}
const int N=1e5+7;
int n,k;
ll a[N],f[N][2],s[N];
int pr[N][210],now,pre;
int q[N];
inline ll sqr(ll p){return p*p;}
inline double slope(int j,int k)
{
	if(s[j]==s[k])return -1e18;
	return (f[k][pre]-f[j][pre]+sqr(s[j])-sqr(s[k]))/static_cast<double>(s[j]-s[k]);
}
int main(void)
{
	n=gi,k=gi;
	for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=gi,s[i]=s[i-1]+a[i];
	for(int p=1;p<=k;++p)
	{
		q[0]=0;
		int l=0,r=0;	
		now=p&1,pre=now^1;
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			while(l<r&&slope(q[l],q[l+1])<=s[i])++l;
			int j=q[l];
			f[i][now]=f[j][pre]+(s[i]-s[j])*s[j];
			pr[i][p]=j;
			while(l<r&&slope(q[r],i)<=slope(q[r-1],q[r]))--r;
			q[++r]=i;
		}
	}
	pi(f[n][now],'\n');
	for(int i=k,w=n;i;--i)pi(w=pr[w][i],' ');
	return 0;
}