ARC086 E Smuggling Marbles

题目大意

\(ProblemLink\)

\(Sunke\)有一棵N + 1个点的树，其中0为根，每个点上有0或1个石子，\(Sunke\)会不停的进行如下操作直至整棵树没有石子：

把0上面的石子从树上拿走放入口袋；

把每个点上的石子移到其父亲上；

对于每个点，若其石子数\(\gt1\)，则移除该点所有石子（不 放入口袋）。

求对于所有\(2^{N+1}\)种放置石子的方案，最终\(Sunke\)口袋中石子数的和为多少，对1000000007取模。

\(1\le N<200000\)，有一部分数据满足\(1\le N <2000\)。

题解

显然深度不同的每一层之间不会互相影响,于是我们可以分开算答案

设\(dp[u][0/1]\)表示\(u\)有0/1个石子的方案数

\[设T= \prod\limits_{v\in son(u)} dp[v][0]\\dp[u][1]=\sum\limits_{v\in son(u)}\frac{T}{dp[v][0]}dp[v][1]\\dp[u][0]=\prod\limits_{v\in son(u)} (dp[v][0]+dp[v][1])-dp[u][1]\\ \]

其实就是容斥,用全部的方案减去1的方案

这个东西就可以用长链剖分的套路去优化

我们每次优先合并长链的深度相同的\(dp\)值

最后的复杂度是\(O(n)\)的.

听说建颗虚树也可以做

但我不会.

/*
@Date    : 2019-10-05 13:07:36
@Author  : Adscn (adscn@qq.com)
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*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define IL inline
#define RG register
#define gi geti<int>()
#define gl geti<ll>()
#define gc getchar()
#define File(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout)
template<typename T>IL bool chkmax(T &x,const T &y){return x<y?x=y,1:0;}
template<typename T>IL bool chkmin(T &x,const T &y){return x>y?x=y,1:0;}
template<typename T>
IL T geti()
{
	RG T xi=0;
	RG char ch=gc;
	bool f=0;
	while(!isdigit(ch))ch=='-'?f=1:f,ch=gc;
	while(isdigit(ch))xi=xi*10+ch-48,ch=gc;
	return f?-xi:xi;
}
template<typename T>
IL void pi(T k,char ch=0)
{
	if(k<0)k=-k,putchar('-');
	if(k>=10)pi(k/10);
	putchar(k%10+'0');
	if(ch)putchar(ch);
}
typedef pair<ll,ll> pll;
int n;
const int N=2e5+7,P=1e9+7;
ll ksm(ll a,int b,ll c=1)
{
	for(;b;b>>=1,a=a*a%P)if(b&1)c=c*a%P;
	return c;
}
ll inv(ll x){return ksm(x,P-2);}
struct edge{int v,nxt;}e[N];
int head[N],cnt;
inline void add(int u,int v){e[++cnt]=(edge){v,head[u]},head[u]=cnt;}
inline void init(){memset(head,cnt=-1,sizeof head);}
vector<pll>dp[N];
ll All[N],T[N],One[N];
int id[N],num,d[N];
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define For_tree(x) for(int _i=head[x],v=e[_i].v;~_i;_i=e[_i].nxt,v=e[_i].v)
inline void dfs(int x)
{
	int hson=n+1,tot=0;
	For_tree(x)
	{
		dfs(v);++tot;
		if(d[v]>d[hson])hson=v;
	}
	if(hson!=n+1)id[x]=id[hson],d[x]=d[hson]+1;
	else id[x]=++num;
	dp[id[x]].push_back(mp(1,1));
	if(tot==1)return;
	for(int i=0;i<d[x];++i)All[i]=1,T[i]=1,One[i]=0;
	int dep;
	For_tree(x)
		for(int i=0;i<=d[v];++i)
		{
			dep=d[hson]-d[v]+i;
			pll t=dp[id[v]][i];
			(All[dep]*=(t.fi+t.se))%=P,(T[dep]*=t.fi)%=P;
		}
	For_tree(x)
		for(int i=0;i<=d[v];++i)
		{
			dep=d[hson]-d[v]+i;
			pll t=dp[id[v]][i];
			(One[dep]+=T[dep]*inv(t.fi)%P*t.se%P)%=P;
		}
	for(int i=0;i<d[x];++i)
	{
		pll &t=dp[id[x]][i];
		t.fi=(All[i]-One[i]+P)%P,t.se=One[i];
	}
}
int dep[N],tot[N],fa[N];
int main(void)
{
	n=gi;init();
	for(int i=1;i<=n;++i)fa[i]=gi,add(fa[i],i),dep[i]=dep[fa[i]]+1,++tot[dep[i]];
	d[n+1]=-1,++tot[0];
	dfs(0);
	ll ans=0;
	for(int i=0;i<=d[0];++i){
		pll t=dp[id[0]][i];
		(ans+=t.se*ksm(2,n+1-tot[d[0]-i])%P)%=P;
	}
	pi(ans);
	return 0;
}