欧拉回路&欧拉通路问题总结

欧拉回路

定义

经过图中所有边恰好一次，并回到原点的路径。

定理

无向图\(G\)存在欧拉回路的充要条件是\(G\)中无奇数度数的节点。

有向图\(G\)存在欧拉回路的充要条件是\(G\)联通且对于所有点\(P \in G\)有其入度等于其出度。

算法

时间复杂度\(O(n)\)

先指定一个点作为起始点\(S\)，进行\(dfs\)，边走边删边。并压入栈中

如果走到一个点了无路可走了就退回来。

最后倒序输出栈就是以S为起点与终点的欧拉回路

模板题 \(uoj117\)

注意重边和自环是有用的。

并且要用当前弧优化，不然会超时

\(Code\)

/*
@Date    : 2019-07-23 18:05:40
@Author  : Adscn (adscn@qq.com)
@Link    : https://www.cnblogs.com/LLCSBlog
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IL inline
#define RG register
#define gi getint()
#define gc getchar()
#define File(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout)
IL int getint()
{
	RG int xi=0;
	RG char ch=gc;
	bool f=0;
	while(ch<'0'||ch>'9')ch=='-'?f=1:f,ch=gc;
	while(ch>='0'&&ch<='9')xi=(xi<<1)+(xi<<3)+ch-48,ch=gc;
	return f?-xi:xi;
}
template<typename T>
IL void pi(T k,char ch=0)
{
	if(k<0)k=-k,putchar('-');
	if(k>=10)pi(k/10,0);
	putchar(k%10+'0');
	if(ch)putchar(ch);
}
const int MAXN=1e6+7;
struct edge{
	int v,nxt;
}e[MAXN];
int head[MAXN],cnt=-1,n,m;
inline void add(int u,int v)
{
	e[++cnt]=(edge){v,head[u]};
	head[u]=cnt;
}
int ideg[MAXN],odeg[MAXN];
int degree[MAXN];
int stk[MAXN],top=0;
bool vis[MAXN];
namespace subtask1{
	void dfs(int p)
	{
		for(int &i=head[p];~i;i=e[i].nxt)
		{
			if(!vis[i])
			{
				vis[i]=vis[i^1]=1;
				int tmp=i;
				dfs(e[i].v);
				stk[++top]=tmp;
			}
			if(i==-1)break;
		}
	}
	int main()
	{
		n=gi,m=gi;
		for(int i=1;i<=m;++i)
			{
				int u=gi,v=gi;
				add(u,v),add(v,u);
				++degree[u],++degree[v];
			}
		for(int i=1;i<=n;++i)if(degree[i]&1)return puts("NO"),0;
		for(int i=1;i<=n;++i)if(~head[i]){dfs(i);break;}
		if(top!=m)return puts("NO"),0;
		puts("YES");
		for(int i=m;i;--i)
			{
				if((stk[i]&1)==1)putchar('-');
				pi(stk[i]/2+1,' ');
			}
		return 0;
	}
}
namespace subtask2{
	inline void dfs(int p)
	{
		for(int &i=head[p];~i;i=e[i].nxt)
		{
			if(!vis[i])
			{
				vis[i]=1;
				int tmp=i;
				dfs(e[i].v);
				stk[++top]=tmp;
			}
			if(i==-1)break;
		}
	}
	int main()
	{
		n=gi,m=gi;
		for(int i=1;i<=m;++i)
		{
			int u=gi,v=gi;
			add(u,v);
			++ideg[v],++odeg[u];
		}
		for(int i=1;i<=n;++i)if(ideg[i]^odeg[i])return puts("NO"),0;
		for(int i=1;i<=n;++i)if(~head[i]){dfs(i);break;}
		if(top!=m)return puts("NO"),0;
		puts("YES");
		for(int i=m;i;--i)pi(stk[i]+1,' ');
		return 0;
	}
}
int main(void)
{
	int t=gi;
	memset(head,-1,sizeof head);
	if(t==1)subtask1::main();
	if(t==2)subtask2::main();
	return 0;
}

咕咕咕