威佐夫博弈[hdu1527]
先看题目
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刚学习了SG函数和博弈论的一些知识，我们来分析一波，整篇文章都是自己yy的，所以极有可能伪证。
先倒推
(0,0)为必败态
显然\((0,x)\),\((x,0)\),\((x,x)\)均为必胜态
对于状态\((x,y)\)(不妨设 \(x<y\))
其为必胜态当且仅当其能转移到必败态\((x_2,y_2)\)
其为必败态当且仅当它没有转移，或仅能转移到必胜态。
因此显然对于必败态\((x,y)\),
\((x±k,y)\),\((x,y±k)\),\((x±k,y±k)\)均为必胜态
于是我们可以用筛法发现，在所有的必败态中，每个自然数恰巧出现一次。
证明：
由于\(x,y\)是对称的，我们只考虑\(x\)
至多出现一次显然正确。
设在必败态中未出现的最小的数为\(t\)
则有\((t,t+i)\)必胜\((i\in[-t,+\infty) )\)
则对于任意\(i\),必有\(j\in [1,t)\) 使得\((t-j,t+i)\)或\((t-j,t+i-j)\)必败。
而\(t-j\)至多只有\(t-1\)种不同的取值。
设\(t-j=q\)
则一定对于某个\(q\)有\((q,i_1),(q,i_2)\)均为必败态。
矛盾。
结论
推导过于复杂，肝不动了Orz
假设两堆石子为\((x,y)\)(\(x<y)\)
那么先手必败，当且仅当
\((y-x)\frac{(\sqrt{5}+1)}{2}=x\)
