莫比乌斯函数与莫比乌斯反演

前言

这玩意无疑是高等数论Oier的必学玩意

身为一名准退役选手，数论一直不行，现在来亡羊补牢。。。似乎已经晚了

\(latex\)根本不会用qwq

感谢大佬的文章，写的很好。自己太菜

若有错误，欢迎指出

正文

• 莫比乌斯函数\(\mu\)

  这是反演的基础，本质上是容斥系数的函数。(不理解可以看gzy大佬的blog，但大佬的文章太强，蒟蒻看不懂啊)

  设\(d=\Pi_{i=1}^{k}p_i^{a_i}\)

  \(\mu(d)=\left\{\begin{matrix} 1& d=1 \\(-1)^k& max(a_i) =1 \\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.\)

• \(\mu\)的一些性质

  1.对于任意\(n\in N^+\)有\(\sum_\text{d|n} \mu(d) = [n=1]\)

  证明

  当\(n=1\)时，\(\mu(1)=1\)

  当\(n\geq2\)时

  设\(n=\Pi_{i=1}^k {p_i}^{a_i}\)

  \(a_i\geq2\)不用管就是0啦

  于是我们就是在\(k\)个质因数中选择\(i\)个组成\(d\)

  对于\(i\)为奇数时的贡献是\(-1\)

  对于\(i\)为偶数时的贡献是\(1\)

  即\(\sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i}(-1)^i\)=\(\sum_{i=0}^k\binom ki(-1)^i1^{k-i}\)=\((-1+1)^k\)=\(0\)

  证毕

  2.对于任意\(n\in N^+\)有\(\sum_\text{d|n}\frac{\mu(d)}d=\frac{\phi(n)}n\)

  证明不会略

  3.对于任意质数\(p\)有\(\mu(p)=-1\)

  由定义 \(\mu(p)=(-1)^1=-1\)

• 关于\(\mu\)的求解

  因为\(\mu\)是个积性函数,所以我们可以方便的用线性筛求解

  线性筛什么的，以后可能会填一填坑

  放一下代码

  int mu[N],pri[N],tot;
  bool npr[N];
  void getmu(int n)
  {
      memset(npr,0,sizeof npr);
      tot=0,mu[1]=1;
      for(int i=2;i<=n;++i)
      {
          if(!npr[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
          for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;++j)
          {
              npr[pri[j]*i]=1;
              if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];
              else break;
          }
      }
  }
  

• 莫比乌斯反演

  这里是重点了qwq

  反演的用处在于有一个好求的函数\(F(n)\),通过它来求关于其约数或倍数\(d\)的函数\(f(d)\)

  反演有两种形式

  1.约数形式

  \(F(n) = \sum_{d|n} f(d)\rightarrow f(n)=\sum_{d|n} \mu(\frac nd)F(d)\)

  2.倍数形式

  \(F(n) = \sum_{n|d} f(d)\rightarrow f(n)=\sum_{n|d} \mu(\frac dn)F(d)\)

• 例题

  常见的应用求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=1]\)

  洛谷P2257 yy的gcd