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12 2024 档案

\sum_{k = 0}^{n} C_{k}^{m} = C_{m + 1}^{n + 1}

摘要：前置芝士：证明

C (m, n) = C (m, n - 1) + C (m - 1, n - 1)

∵ C (m, n) = C (m, n - 1) + C (m - 1, n - 1)

∴ C (m + 1, n + 1) = C (m + 1, n) + C (m, n)

证明

\sum_{k = 0}^{n} C_{k}^{m} = C_{m + 1}^{n + 1}

\(

7

0

0

组合数的定义

摘要：组合数的定义：组合数表示从

n

个不同的元素中，选取

m

个元素的不同选择方式，不考虑顺序。记为

C (m, n)

或

(\binom{n}{m})

。数学定义为：

C (m, n) = \frac{n!}{m! (n - m)!}

其中：

n!

是

n

100

0

0

\sum_{m = 0}^{n} C (m, n) = 2^{n}

摘要：我们来证明以下公式：

\sum_{m = 0}^{n} C (m, n) = 2^{n} .

证明思路：这个公式的含义是：从

n

个元素中选取

m

个元素的组合数的总和，随着

m

从 0 到

n

变化，等于

2^{n}

。我们将用递推的方法来证明这个等式。 1. 组合数的

14

0

0

证明 C(m, n) = C(n-m, n)

摘要：证明：根据组合数的定义，组合数

C (m, n)

可以表示为：

C (m, n) = \frac{n!}{m! (n - m)!} .

同样，组合数

C (n - m, n)

的定义是：

C (n - m, n) = \frac{n!}{(n - m)! (m)!} .

我们可以看到，公式中 $

40

0

0

排列数的定义

摘要：排列数的定义：排列数是指从

n

个不同的元素中，选取

m

个元素并按照一定顺序排列的方式数，记为

P (m, n)

。数学定义为：

P (m, n) = \frac{n!}{(n - m)!},

其中：

n!

表示

n

的阶乘，即 $ n! = n \tim

124

0

0

C (m, n) = C (m, n - 1) + C (m - 1, n - 1)

摘要：定义法利用组合数的定义

C (m, n) = \frac{n!}{m! (n - m)!}

，展开公式的两边进行验证。左边：

C (m, n) = \frac{n!}{m! (n - m)!} .

右边：

C (m, n - 1) + C (m - 1, n - 1) .

分别计算两项： \[C(m, n-1

23

0

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