证明 C(m,n)=C(m,n−1)+C(m−1,n−1)

定义法

利用组合数的定义 $C(m,n)=\frac{n!}{m!(n-m)!}$，展开公式的两边进行验证。

左边：

$$C(m,n)=\frac{n!}{m!(n-m)!}.$$

右边：

$$C(m,n-1)+C(m-1,n-1).$$

分别计算两项：

$$C(m,n-1)=\frac{(n-1)!}{m!((n-1)-m)!}=\frac{(n-1)!}{m!(n-m-1)!},$$

$$C(m-1,n-1)=\frac{(n-1)!}{(m-1)!((n-1)-(m-1))!}=\frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!}.$$

将右边通分：

$$C(m,n-1)+C(m-1,n-1)=\frac{(n-1)!}{m!(n-m-1)!}+\frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!}.$$

通分后分母为 $m!(n-m)!$，分子为：

$$m\cdot (n-1)!+(n-m)\cdot (n-1)!=n\cdot (n-1)!.$$

因此：

$$C(m,n-1)+C(m-1,n-1)=\frac{n\cdot (n-1)!}{m!(n-m)!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}.$$

这与 $C(m,n)$ 相等，证明完毕。

证明思路：

我们将 $n$ 个元素分成两部分：一个是特定的元素 $A$，剩下的是其余的 $n-1$ 个元素。然后我们根据 $A$ 是否被选入组合来进行分类讨论。

分情况讨论：

1. 情况 1：$A$ 被选入组合中

• 如果 $A$ 被选入组合，那么我们需要从剩下的 $n-1$ 个元素中选出 $m-1$ 个元素。
• 这种情况下的组合数就是从 $n-1$ 个元素中选出 $m-1$ 个元素的组合数，即 $C(m-1,n-1)$。

2. 情况 2：$A$ 不被选入组合中

• 如果 $A$ 不被选入组合，那么所有的 $m$ 个元素都必须从剩下的 $n-1$ 个元素中选出。
• 这种情况下的组合数就是从 $n-1$ 个元素中选出 $m$ 个元素的组合数，即 $C(m,n-1)$。

根据加法原理，所有可能的组合数是这两种情况的总和：

$$C(m,n)=C(m,n-1)+C(m-1,n-1).$$