NOIP20240731
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T1 数据库
- 题意：给定一个字符串
S作为用户名，检查它是否已存在于数据库（集合）中。如果S不存在，则返回OK并将S加入数据库。如果S已存在，则在S后面添加最小的正整数，然后加入数据库，并返回该新用户名。 - 题解：简单的
map练习题。 - 代码
T2 社会服务
- 题意：有两边各 \(n\) 个潘奕帆要过马路并返回原地，搀扶一个潘奕帆过马路和你单独穿越马路的时间为 \(t\)，潘奕帆休息的时间为 \(x\)。你一次只能扶一个潘奕帆，问所有潘奕帆过马路并返回的最短时间。
- 题解：首先扶潘奕帆过第一波马路的时间是 \(2nt\)，接下来考虑你留在哪边扶第二波马路。留在这边的开始时间是 \(\min(2nt,2t+x)\)，去那边的开始时间是 \(\min(2nt+t,t+x)\)，考虑最小的第二波时间即可，第二波时间开始之后可以连续扶过马路。
- 代码
T3 完美匹配
- 题意：自己看
- 题解：\(n\) 为奇数答案为 \(0\)。
把两个点绑一块，共有 \(n!!=1\times 3\times \dots \times (n-1)\) 种方法。
绑一块的点能组成的树，有 \((\cfrac{n}{2})^{\cfrac{n}{2}-2}\) 种。
点与点之间相互连接，有 \(4^{\cfrac{n}{2}-1}\) 种。
将方案乘起来即可。 - 代码
T4 合并石子
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题意：给定一个由正整数组成的序列 \(a_1, a_2, \dots, a_n\)，你可以进行若干次操作，每次操作你可以选择一个位置 \(i\)（\(2 \leq i \leq n-1\)），如果满足 \(a_i = \cfrac{a_{i-1} + a_{i+1}}{2}\)，则可以删除 \(a_i\)。删除后，后面的数字依次前移，序列长度减少 \(1\)。问经过若干次操作后，序列的最小长度是多少？
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题解：差分之后，变成每次选择两个相邻的相同的值 \(a_x,a_y\)，把他们合并成 \(a_x+a_y\)。
注意到 \(a_i\div \text{lowbit}(a_i)\) 不同的数一定不能合并，按这个东西分段，分段之后考虑怎样合并。
对于每一个点 \(i\)，设 \(f_{i,j}\) 表示以 \(i\) 为右端点合并到 \(\text{lowbit}\) 为 \(2^j\)的左端点需要是多少，这个可以倍增预处理出来。
剩下的对于每一段做dp，设 \(G_i\) 为最小长度，则对于每一个 \(j\) 都有 \(G_i=min(G_i,G_{f_{i,j}}+1)\)。
