NOIP20240731

题意：给定一个字符串 S 作为用户名，检查它是否已存在于数据库（集合）中。如果 S 不存在，则返回 OK 并将 S 加入数据库。如果 S 已存在，则在 S 后面添加最小的正整数，然后加入数据库，并返回该新用户名。
题解：简单的 map 练习题。
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题意：有两边各 $n$ 个潘奕帆要过马路并返回原地，搀扶一个潘奕帆过马路和你单独穿越马路的时间为 $t$ ，潘奕帆休息的时间为 $x$ 。你一次只能扶一个潘奕帆，问所有潘奕帆过马路并返回的最短时间。
题解：首先扶潘奕帆过第一波马路的时间是 $2 n t$ ，接下来考虑你留在哪边扶第二波马路。留在这边的开始时间是 $min (2 n t, 2 t + x)$ ，去那边的开始时间是 $min (2 n t + t, t + x)$ ，考虑最小的第二波时间即可，第二波时间开始之后可以连续扶过马路。
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题意：自己看
题解： $n$ 为奇数答案为 $0$ 。
把两个点绑一块，共有 $n!! = 1 \times 3 \times \dots \times (n - 1)$ 种方法。
绑一块的点能组成的树，有 $(\frac{n}{2})^{\frac{n}{2} - 2}$ 种。
点与点之间相互连接，有 $4^{\frac{n}{2} - 1}$ 种。
将方案乘起来即可。
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题意：给定一个由正整数组成的序列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ ，你可以进行若干次操作，每次操作你可以选择一个位置 $i$ （ $2 \leq i \leq n - 1$ ），如果满足 $a_{i} = \frac{a_{i - 1} + a_{i + 1}}{2}$ ，则可以删除 $a_{i}$ 。删除后，后面的数字依次前移，序列长度减少 $1$ 。问经过若干次操作后，序列的最小长度是多少？
题解：差分之后，变成每次选择两个相邻的相同的值 $a_{x}, a_{y}$ ，把他们合并成 $a_{x} + a_{y}$ 。
注意到 $a_{i} \div lowbit (a_{i})$ 不同的数一定不能合并，按这个东西分段，分段之后考虑怎样合并。
对于每一个点 $i$ ，设 $f_{i, j}$ 表示以 $i$ 为右端点合并到 $lowbit$ 为 $2^{j}$ 的左端点需要是多少，这个可以倍增预处理出来。
剩下的对于每一段做 dp，设 $G_{i}$ 为最小长度，则对于每一个 $j$ 都有 $G_{i} = m i n (G_{i}, G_{f_{i, j}} + 1)$ 。
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