NOIP20240805
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T1 解方程
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题意：给定非负整数 \(n\)，需要找到两个正整数 \(x\) 和 \(y\)，使得 \(x^2 - y^2 = n\)。
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题解：由题可知 \((x+y)(x−y)=n\)，可以得出：\(x+y\) 与 \(x−y\) 奇偶性相同。
于是，可以将 \(n\) 的奇偶性进行划分：
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\(n\) 为奇数，
当 \((x+y),(x−y)\) 各为 \(1,n\) 时成立。
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\(n\) 为偶数，\(x=n\div2\)，
若 \(x\) 为奇数为
No（无法划分成奇偶性相同的两块）；若 \(x\) 为偶数则为
Yes。
注意：当 \(n=0,1,4\) 时需要特判！
队测时 \(n\) 是自然数，不需要特判 \(n=1,4\)。
T2 超速
- 题意：有 \(n\) 条道路，每段公路的长度 \(l_i\)，限速是 \(v_i\)，超速就要按照规定罚款，不同的超速程度有不同金额的罚款，每一辆车从 \(s_i\) 的时刻开始行驶，\(t_i\) 的时刻离开该条公路，求最小的最大罚款金额。
- 题解
- 代码
T3 业绩评比
- 题意：给出序列 \(a\)，定义 \(S_i\) 为连续 \(d\) 个不同的 \(a_i\) 数量之和，求 \(S_{1\sim n}\)。
- 题解：差分好题
每一种数字单独处理。假设该数字出现情况形如.... x....x.....x....。把每一个....的长度取出来，假设为 \(L\)。那么 \(1\) 的答案就要减去 \(L\)，\(2\) 的要减去 \(L−1\dots\dots\)随后进行模拟即可。 - 代码
T4 Umamusume 不会
T5 Mr. Liang play Card Game
- 题意：有 \(n\) 张卡牌，按顺序排列。每张卡牌有一个类型和一个初始等级 \(1\)。每种类型的卡牌有一个固定的基础收益值 \(V_i\)。你可以选择打出卡牌，获得相应的收益。收益公式为：等级为 \(k\) 的卡牌的收益 \(= V_i\times P^{k-1}\)。你可以选择将两张相邻的同类型、同等级的卡牌合并，提升等级（等级上限为 \(R\)）。请通过打出和合并卡牌，获得最大的总收益。
- 题解：区间
dp好题。考虑用一个四维数组来表示状态 \(f_{l,r,a,b}\) 表示在 \([l,r]\) 这个区间，最后剩一张编号为 a，等级为 \(b\) 的一张牌。\(g_{l,r}\) 表示 \([i,j]\) 这个区间，最后没有剩下任何牌的最大价值。那么我们就有三种转移
\[ \large f_{l,r,a,b}=\max(f_{l,r,a,b}, f_{l,k,a,b}+g_{k+1,r}, f_{k+1,r,a,b} + g_{l,k}, f_{l,k,a,b-1}+f_{k+1,r,a,b-1})
\]
\[ \large g_{l,r} = \max(g_{l,r}, f_{l,r,a,b} + val)
\]
