NOIP20240805

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T1 解方程

• 题意：给定非负整数 $n$，需要找到两个正整数 $x$ 和 $y$，使得 $x^2-y^2=n$。

• 题解：由题可知 $(x+y)(x-y)=n$，可以得出：$x+y$ 与 $x-y$ 奇偶性相同。

  于是，可以将 $n$ 的奇偶性进行划分：

• $n$ 为奇数，

  当 $(x+y),(x-y)$ 各为 $1,n$ 时成立。

• $n$ 为偶数，$x=n÷2$，

  若 $x$ 为奇数为 No（无法划分成奇偶性相同的两块）；

  若 $x$ 为偶数则为 Yes。

注意：当 $n=0,1,4$ 时需要特判！
队测时 $n$ 是自然数，不需要特判 $n=1,4$。

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T2 超速

• 题意：有 $n$ 条道路，每段公路的长度 $l_i$，限速是 $v_i$，超速就要按照规定罚款，不同的超速程度有不同金额的罚款，每一辆车从 $s_i$ 的时刻开始行驶，$t_i$ 的时刻离开该条公路，求最小的最大罚款金额。
• 题解
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T3 业绩评比

• 题意：给出序列 $a$，定义 $S_i$ 为连续 $d$ 个不同的 $a_i$ 数量之和，求 $S_{1\sim n}$。
• 题解：差分好题
  每一种数字单独处理。假设该数字出现情况形如 .... x....x.....x....。把每一个 ....的长度取出来，假设为 $L$。那么 $1$ 的答案就要减去 $L$，$2$ 的要减去 $L-1\dots \dots$随后进行模拟即可。
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T4 Umamusume 不会

T5 Mr. Liang play Card Game

• 题意：有 $n$ 张卡牌，按顺序排列。每张卡牌有一个类型和一个初始等级 $1$。每种类型的卡牌有一个固定的基础收益值 $V_i$。你可以选择打出卡牌，获得相应的收益。收益公式为：等级为 $k$ 的卡牌的收益 $=V_i\times P^{k-1}$。你可以选择将两张相邻的同类型、同等级的卡牌合并，提升等级（等级上限为 $R$）。请通过打出和合并卡牌，获得最大的总收益。
• 题解：区间 dp 好题。考虑用一个四维数组来表示状态 $f_{l,r,a,b}$ 表示在 $[l,r]$ 这个区间，最后剩一张编号为 a，等级为 $b$ 的一张牌。$g_{l,r}$ 表示 $[i,j]$ 这个区间，最后没有剩下任何牌的最大价值。那么我们就有三种转移

$$f_{l,r,a,b}=max(f_{l,r,a,b},f_{l,k,a,b}+g_{k+1,r},f_{k+1,r,a,b}+g_{l,k},f_{l,k,a,b-1}+f_{k+1,r,a,b-1})$$

$$g_{l,r}=max(g_{l,r},f_{l,r,a,b}+val)$$

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T6 机器人比赛 不会