NOIP20240709

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T1 在玩具之国搭积木

• 题意：

• 给定长度为 \(n\) 的数组，表示每个位置上已有的积木高度。
• 可以增加某些位置上的高度，增加的体力消耗是增加的高度的平方。
• 邻居位置高度差的绝对值会影响不美观程度，这种影响乘以一个常数 \(c\)。
• 寻找一种最优策略，使得不美观程度和体力消耗的和最小。

• 题解：\(f_{i,j}\) 表示在处理到第 \(i\) 个元素时，将第 \(i\) 个元素的高度调整为 \(j\) 时的最小代价。
• 代码

T2 在秋叶市场爆街机

• 题意：
  给你两个数 \(N，M\)，问有几个有序数对 \((a,b)(a\le N, b\le M)\) 满足 \((\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\) 是整数。
• 题解：
  把 \((\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\) 拆开就是 \(a+b+2\sqrt{ab}\)，那么只要满足 \(ab\) 是完全平方数就好了，我们考虑 \(a,b\) 都是一些质数次方的乘积，然后把 \(a,b\) 中本来就有的完全平方数去掉，会发现，此时 \(a=b\)，那么我们有一种方法就是枚举 \(\min(N,M)\) 中没有完全平方数因子的数 \(p\)，然后加上 \(\sqrt{\frac{N}{p}}\times\sqrt{\frac{M}{p}}\) 即可。
• 代码

T3 在去玫瑰之明星的路上大战银镜兽

• 题意：原图的 \(N-1\) 条主要边构成了一个树。我们可以通过删除一条主要边，将树分成两个连通分量。删除主要边后，图分为两个连通分量 \(A\) 和 \(B\)。此时，附加边可能在 \(A\) 内部、\(B\) 内部，或连接 \(A\) 和 \(B\) 两部分。当且仅当附加边连接 \(A\) 和 \(B\) 时，才能在删除主要边后，通过切断一条附加边进一步分割图。
• 题解：LCA 加树上差分。
  我们枚举每条非树边 \((x,y)\)，把 \(x\) 到 \(y\) 路径上所有边的边权 \(+1\)，对于每条树边，如果边权为 \(0\)，则切断它之后原图已经不联通，第二条边随便切一条，共 \(m\) 种方案。如果边权为 \(1\)，则第二步必须切断对应的那条边，方案数 \(1\)，如果边权大于 \(2\) 则没有方案。
• 代码