题解：P9788 [ROIR 2020 Day2] 区域规划

思路 1

观察式子，不妨设 $a=c+t,b=d+w$，那么有 $(c+t)(d+w)-cd=n$，即 $cw+td+tw=n$，考虑枚举 $t,w$，注意到 $c,d,t,w>0$，所以 $tw<n$，所以 $w\le \lfloor \frac{n}{t}\rfloor$， 那么问题转化成 $cw+td=n-tw$ 的正整数解，其中 $t,w,n$ 已知，故可使用 exgcd，时间复杂度为 $O(n{\log }^{2}n)$。

但还要注意 $a\ne x，b\ne x$，所以答案要减去 $a=x$ 或 $b=x$ 的情况。

考虑容斥，答案即为 $a=x$ 时的答案加上 $b=x$ 时的答案减去 $a=x$ 且 $b=x$ 的答案，后者整除分块容易解决，考虑前者（这里只考虑 $a=x$ 的情况，$b=x$ 同理），注意到 $b\le n$，考虑枚举 $c$，那么转化成求 $xb-cd=n$ 的正整数解，其中$x,c,n$ 已知，可以使用 exgcd，时间复杂度为 $O(n\log n)$。

综上所述，时间复杂度为 $O(n{\log }^{2}n)$。

思路 2

当然是暴力加优化了。

我们固定 $a,b$ 和 $c$。然后我们可以发现 $d$ 是由方程 $ab-cd=n$ 的唯一确定的：如果 $ab-n$ 是 $c$ 的倍数，那么 $d=(ab-n)÷c$，否则没有合适的 $d$。注意记得要检查 $b>d$。

综上所述，时间复杂度 $O(n^3)$。

思路 2 代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i, l, r) for(int i = l; i <= r; ++ i)
#define per(i, r, l) for(int i = r; i >= l; -- i)
int n, x, ans;
main()
{
    cin >> n >> x;
    for(int i = 1; i <= n + 1;++ i)
    {
        if(i == x) continue;
        rep(j, i, n + 1)
        {
            if(j == x || i * j <= n) continue;
            rep(k, max(1, (i * j - n) / j), i - 1)
            {
                if((i * j - n) / k >= j) continue;
                if((i * j - n) % k == 0) ans += 1 + (i != j);
            }
        }
    }
	printf("%d", ans);
    return 0;
}