数学题

在 \(Rt△ABC\) 中，\(∠ACB=90°\)，\(∠A=30°\)，\(BD\) 是 \(△ABC\) 的角平分线，\(DE⊥AB\) 于 \(E\)．

（1）如图 \(1\)，连接 \(CE\)，求证：\(△BCE\) 是等边三角形；

（2）如图 \(2\)，点 \(M\) 为 \(CE\) 上一点，连结 \(BM\)，作等边 \(△BMN\)，连接 \(EN\)，求证：\(EN//BC\)；

（3）如图 \(3\)，点 \(P\) 为线段 \(AD\) 上一点，连结 \(BP\)，作 \(∠BPQ=60°\)，\(PQ\) 交 \(DE\) 延长线于 \(Q\)，探究线段 \(PD\)，\(DQ\) 与 \(AD\) 之间的数量关系，并证明．

解
(1)

\(∵∠ACB=90°，∠A=30°，\)

\(∴∠ABC=60°，\)

\(∵BD\) 是 \(△ABC\) 的角平分线，

\(∴∠DBA=∠ABC=30°，\)

\(∴∠A=∠DBA，\)

\(∴AD=BD，\)

\(∵DE⊥AB，\)

\(∴AE=BE，\)

\(∴CE=AB=BE，\)

\(∴△BCE\) 是等边三角形；

(2)证明：\(∵△BCE\) 与 \(△MNB\) 都是等边三角形，

\(∴BC=BE，BM=BN，∠EBC=∠MBN=60°，\)

\(∴∠CBM=∠EBN，\)

易证：在 \(△CBM\) 和 \(△EBN\) 中，\(△CBM≌△EBN(SAS)，\)

\(∴∠BEN=∠BCM=60°，\)

\(∴∠BEN=∠EBC，\)

\(∴EN//BC\)

(3) \(DQ=AD+DP\)

理由如下：

延长 \(BD\) 至 \(F\)，使 \(DF=PD\)，连接 \(PF\)，如图所示：

\(∵∠PDF=∠BDC=∠A+∠DBA=30°+30°=60°，\)

\(∴△PDF\) 为等边三角形，

\(∴PF=PD=DF，∠F=60°，\)

\(∵∠PDQ=90°﹣∠A=60°，\)

\(∴∠F=∠PDQ=60°，\)

\(∴∠BDQ=180°﹣∠BDC﹣∠PDQ=60°，\)

\(∴∠BPQ=∠BDQ=60°，\)

\(∴∠Q=∠PBF，\)

易证：在 \(△PFB\) 和 \(△PDQ\) 中，\(∴△PFB≌△PDQ，\)

\(∴DQ=BF=BD+DF=BD+DP，\)

\(∵∠A=∠ABD，\)

\(∴AD=BD，\)

\(∴DQ=AD+DP\)