数学题

在 $Rt△ABC$ 中，$\angle ACB=90°$，$\angle A=30°$，$BD$ 是 $△ABC$ 的角平分线，$DE\perp AB$ 于 $E$．

（1）如图 $1$，连接 $CE$，求证：$△BCE$ 是等边三角形；

（2）如图 $2$，点 $M$ 为 $CE$ 上一点，连结 $BM$，作等边 $△BMN$，连接 $EN$，求证：$EN//BC$；

（3）如图 $3$，点 $P$ 为线段 $AD$ 上一点，连结 $BP$，作 $\angle BPQ=60°$，$PQ$ 交 $DE$ 延长线于 $Q$，探究线段 $PD$，$DQ$ 与 $AD$ 之间的数量关系，并证明．

解
(1)

$\because \angle ACB=90°，\angle A=30°，$

$\therefore \angle ABC=60°，$

$\because BD$ 是 $△ABC$ 的角平分线，

$\therefore \angle DBA=\angle ABC=30°，$

$\therefore \angle A=\angle DBA，$

$\therefore AD=BD，$

$\because DE\perp AB，$

$\therefore AE=BE，$

$\therefore CE=AB=BE，$

$\therefore △BCE$ 是等边三角形；

(2)证明：$\because △BCE$ 与 $△MNB$ 都是等边三角形，

$\therefore BC=BE，BM=BN，\angle EBC=\angle MBN=60°，$

$\therefore \angle CBM=\angle EBN，$

易证：在 $△CBM$ 和 $△EBN$ 中，$△CBM≌△EBN(SAS)，$

$\therefore \angle BEN=\angle BCM=60°，$

$\therefore \angle BEN=\angle EBC，$

$\therefore EN//BC$

(3) $DQ=AD+DP$

理由如下：

延长 $BD$ 至 $F$，使 $DF=PD$，连接 $PF$，如图所示：

$\because \angle PDF=\angle BDC=\angle A+\angle DBA=30°+30°=60°，$

$\therefore △PDF$ 为等边三角形，

$\therefore PF=PD=DF，\angle F=60°，$

$\because \angle PDQ=90°﹣\angle A=60°，$

$\therefore \angle F=\angle PDQ=60°，$

$\therefore \angle BDQ=180°﹣\angle BDC﹣\angle PDQ=60°，$

$\therefore \angle BPQ=\angle BDQ=60°，$

$\therefore \angle Q=\angle PBF，$

易证：在 $△PFB$ 和 $△PDQ$ 中，$\therefore △PFB≌△PDQ，$

$\therefore DQ=BF=BD+DF=BD+DP，$

$\because \angle A=\angle ABD，$

$\therefore AD=BD，$

$\therefore DQ=AD+DP$