树状数组 3 ：区间修改，区间查询

树状数组模板（3）

题意要求：给定一个序列，支持区间修改和区间查询。

设 $t r e e_{i} = a_{i} - a_{i - 1}$ （差分），那么容易得到： $t r e e_{1} + t r e e_{2} + . . . + t r e e_{i} = a_{i}$ 这个公式

所以，只需要维护 $t r e e$ 数组就可以实现区间修改了。

那么问题来了，如果这样，那么如何实现区间查询呢？

我们已经推出了一个公式：

$t r e e_{1} + t r e e_{2} + . . . + t r e e_{i} = a_{i}$

那么，对于1到r的区间和，即为：

$a_{1} + a_{2} + . . . + a_{r - 1} + a_{r}$

用上方公式推导得出

$= t r e e_{1} + (t r e e_{1} + t r e e_{2}) + . . . + (t r e e_{1} + . . . + t r e e_{r})$

根据加法交换律与结合律：

$= t r e e_{1} \times r + t r e e_{2} \times (r - 1) + . . . + t r e e_{r} \times 1$

那么：

$= r \times (t r e e_{1} + t r e e_{2} + . . . + t r e e_{r}) - (t r e e_{1} \times 0 + t r e e_{2} \times 1 + . . . + t r e e_{r} \times (r - 1))$

看到这里，是不是已经很清晰了呢？

对于 $a$ 的树状数组(差分) $t r e e$ ，建立一个新的树状数组 $t r e e 1$ 使得：

$t r e e 1_{i} = t r e e_{i} \times (i - 1)$

之后， $x$ 到 $y$ 的区间和即为：

$(y \times (t r e e_{1} + t r e e_{2} + . . . + t r e e_{y}) - (x - 1) \times (t r e e_{1} + t r e e_{2} + . . . + t r e e_{x} - 1)) - (t r e e 1_{1} + t r e e 1_{2} + . . . + t r e e 1_{y}) - (t r e e 1_{1} + t r e e 1_{2} + . . . + t r e e 1_{x - 1}))$

$T i p s$ :

因为求区间和满足区间加法，所以 $S u m (L, R) = S u m (1, R) - S u m (1, L - 1)$ ，所以有上述公式。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,tree[100005],tree1[100005];//题目要求longlong
inline void add(long long*z,long long x,long long num)
{
    while(x<=n)
    {
        z[x]+=num;
        x+=x&(-x);
    }
}
inline long long getsum(long long*z,long long x)
{
    long long sum=0;
    while(x>0)
    {
        sum+=z[x];
        x-=x&(-x);
    }
    return sum;
}
int main()
{
    cin.sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m;
    long long a,b=0;
    for(long long i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a;
        b=a-b;
        add(tree,i,b);
        add(tree1,i,(i-1)*b);
        b=a;
    }
    for(long long i=1;i<=m;i++)
    {
        int t,x,y,z;
        cin>>t;
        if (t==1)
        {
            cin>>x>>y>>z;
            add(tree,x,z);
            add(tree,y+1,-z);
            add(tree1,x,z*(x-1));
            add(tree1,y+1,-z*y);//此处为核心，联系上方的公式，想一想为什么这么修改。
        }
        else
        {
            cin>>x>>y;
            cout<<(y*getsum(tree,y)-(x-1)*getsum(tree,x-1))-(getsum(tree1,y)-getsum(tree1,x-1))<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

posted @ 2023-07-01 10:55 liukejie 阅读(294) 评论(0) 编辑收藏举报

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