树状数组 3 ：区间修改，区间查询

树状数组模板（3）

题意要求：给定一个序列，支持区间修改和区间查询。

设 \(tree_i=a_i-a_{i-1}\)（差分），那么容易得到：\(tree_1+tree_2+...+tree_i=a_i\) 这个公式

所以，只需要维护 \(tree\) 数组就可以实现区间修改了。

那么问题来了，如果这样，那么如何实现区间查询呢？

我们已经推出了一个公式：

\(tree_1+tree_2+...+tree_i=a_i\)

那么，对于1到r的区间和，即为：

\(a_1+a_2+...+a_{r-1}+a_r\)

用上方公式推导得出

\(=tree_1+(tree_1+tree_2)+...+(tree_1+...+tree_r)\)

根据加法交换律与结合律：

\(=tree_1 \times r + tree_2 \times (r-1) + ... +tree_{r} \times 1\)

那么：

\(=r \times (tree_1+tree_2+...+tree_r)-(tree_1 \times 0+tree_2 \times 1+...+tree_r \times (r-1))\)

看到这里，是不是已经很清晰了呢？

对于 \(a\) 的树状数组(差分) \(tree\)，建立一个新的树状数组 \(tree1\) 使得：

\(tree1_i=tree_i \times (i-1)\)

之后，\(x\) 到 \(y\) 的区间和即为：

\((y \times (tree_1 + tree_2 + ... + tree_y)-(x-1) \times (tree_1 + tree_2 + ... + tree_x-1))-(tree1_1 + tree1_2 + ... + tree1_y)-(tree1_1 + tree1_2 + ... + tree1_{x-1}))\)

\(Tips\):

因为求区间和满足区间加法，所以\(Sum(L,R) = Sum(1,R) - Sum(1,L-1)\)，所以有上述公式。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,tree[100005],tree1[100005];//题目要求longlong
inline void add(long long*z,long long x,long long num)
{
    while(x<=n)
    {
        z[x]+=num;
        x+=x&(-x);
    }
}
inline long long getsum(long long*z,long long x)
{
    long long sum=0;
    while(x>0)
    {
        sum+=z[x];
        x-=x&(-x);
    }
    return sum;
}
int main()
{
    cin.sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m;
    long long a,b=0;
    for(long long i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a;
        b=a-b;
        add(tree,i,b);
        add(tree1,i,(i-1)*b);
        b=a;
    }
    for(long long i=1;i<=m;i++)
    {
        int t,x,y,z;
        cin>>t;
        if (t==1)
        {
            cin>>x>>y>>z;
            add(tree,x,z);
            add(tree,y+1,-z);
            add(tree1,x,z*(x-1));
            add(tree1,y+1,-z*y);//此处为核心，联系上方的公式，想一想为什么这么修改。
        }
        else
        {
            cin>>x>>y;
            cout<<(y*getsum(tree,y)-(x-1)*getsum(tree,x-1))-(getsum(tree1,y)-getsum(tree1,x-1))<<endl;
        }
    }
    return 0;
}