初中数学

如图，$\angle AOB＝30°$，$M$，$N$ 分别是 $OA$，$OB$ 上的定点，$P$，$Q$ 分别是边 $OB$，$OA$ 上的动点，如果记 $\angle AMP＝\alpha$，$\angle ONQ＝\beta$，当 $MP＋PQ＋QN$ 最小时，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 的数量关系是_________________.

【答案】$\alpha －\beta ＝90°$

解：如图，作 $M$ 关于 $OB$ 的对称点 $M^{\prime }$，$N$ 关于 $OA$ 的对称点 $N^{\prime }$，连接 $M^{\prime }{N}^{\prime }$ 交 $OA$ 于$Q$，交 $OB$ 于 $P$，则 $MP+PQ+QN$ 最小，

易知 $\angle OPM=\angle OP{M}^{\prime }=\angle NPQ，\angle OQP=\angle AQ{N}^{\prime }=\angle AQN，$
$\because \angle OQN=180°-30°-\angle ONQ，\angle OPM=\angle NPQ=30°+\angle OQP，$
$\angle OQP=\angle AQN=30°+\angle ONQ$
$\therefore \angle OPM=30°+30°+\angle ONQ$
$\because \alpha =30°+\angle OPM$，
$\therefore \alpha －\beta ＝90°$

故答案为：$\alpha －\beta ＝90°$.