海涅定理:limx→af(x)=L⇔∀xn→a(n→∞),limn→∞f(xn)=L(xn≠a且xn∈f(x)定义域)。
证明必要性(⇒):由函数极限定义得:
∀ε>0,∃δ>0,当0<|x−a|<δ时,满足|f(x)−L|<ε。
由∀xn→a(n→∞),得∃N∈N,n≥N, 0<|xn−a|<ε,满足|f(xn)−L|<ε,即limn→∞f(xn)=L。
证明充分性(⇐):利用反证法,假设limx→af(x)≠L,那么说明,对于∃ε′>0,∀δ>0,当0<|x−a|<δ,使得|f(x)−a|≥ε′,也就是说在x=a得去心邻域内,总存在一点使得limf(x)≠L。
设xn=1n,那么有0<|xn−a|<1n 推出 ∀xn→a(n→∞),|f(xn)−L|<ε′,由此与|f(x)−a|≥ε′矛盾,所以假设不成立。
例题:
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求数列极限I=limn→∞n2(arctan2n−arctan2n+1)。
令x=1n,当n→∞时,那么x→0+,利用海涅定理将数列极限转为函数极限limx→0(arctan2x−arctan2xx+1)x2,然后就可以使用洛必达或者拉格朗日中值定理了。
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求数列极限limn→∞√nsinπn。
令x=n,利用海涅定理将数列极限转为函数极限limx→∞√xsinπx,使用等价无穷小的代换直接做。
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证明极限limx→0sin1x不存在。
取x′n=1nπ,x′′n=12nπ+π2,limn→∞x′n=0,limn→∞x′′n=0。
limn→∞1x′n=0≠limn→∞1x′′n=1,所以极限不存在。
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