海涅定理

海涅定理：$\lim\limits_{x \to a}f(x) = L \Leftrightarrow \forall x_n \to a(n \to \infty)，\lim\limits_{n \to \infty}f(x_n) = L\,\,(x_n \neq a且x_n\in f(x)定义域)$。

证明必要性($\Rightarrow$)：由函数极限定义得：
$\forall \varepsilon > 0$，$\exist\delta > 0$，当$0 < |x - a| < \delta$时，满足$|f(x) - L| < \varepsilon$。
由$\forall x_n \to a(n \to \infty)$，得$\exist N \in \mathbb{N}$，$n \geq N$， $0 < |x_n - a| < \varepsilon$，满足$|f(x_n) - L| < \varepsilon$，即$\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = L$。

证明充分性($\Leftarrow$)：利用反证法，假设$\lim\limits_{x \to a} f(x) \neq L$，那么说明，对于$\exist\varepsilon' > 0，\forall\delta > 0$，当$0 < |x - a| < \delta$，使得$|f(x) - a| \geq \varepsilon'$，也就是说在$x = a$得去心邻域内，总存在一点使得$\lim f(x) \neq L$。
设$x_n = \cfrac{1}{n}$，那么有$0 < |x_n - a| <\cfrac{1}{n}$ 推出 $\forall x_n \to a(n \to \infty)$，$|f(x_n) - L| < \varepsilon'$，由此与$|f(x) - a| \geq \varepsilon'$矛盾，所以假设不成立。

例题：

1. 求数列极限$I = \lim\limits_{n \to \infty}n^2(\arctan\cfrac{2}{n} - \arctan\cfrac{2}{n + 1})$。
   令$x = \cfrac{1}{n}$，当$n \to \infty$时，那么$x \to 0^{+}$，利用海涅定理将数列极限转为函数极限$\lim\limits_{x \to 0}\cfrac{(\arctan2x - \arctan\cfrac{2x}{x + 1})}{x^2}$，然后就可以使用洛必达或者拉格朗日中值定理了。

2. 求数列极限$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt n \sin\cfrac{\pi}{n}$。
   令$x = n$，利用海涅定理将数列极限转为函数极限$\lim\limits_{x \to \infty}\sqrt x \sin\cfrac{\pi}{x}$，使用等价无穷小的代换直接做。

3. 证明极限$\lim\limits_{x \to 0} \sin\cfrac{1}{x}$不存在。
   取$x_n' = \cfrac{1}{n \pi}$，$x_n'' = \cfrac{1}{2n\pi + \cfrac{\pi}{2}}$，$\lim\limits_{n \to \infty} x_n' = 0$，$\lim\limits_{n \to \infty} x_n'' = 0$。

   $\lim\limits_{n \to \infty} \cfrac{1}{x_n'} = 0 \neq \lim\limits_{n \to \infty}\cfrac{1}{x_n''} = 1$，所以极限不存在。