海涅定理

海涅定理：\(\lim\limits_{x \to a}f(x) = L \Leftrightarrow \forall x_n \to a(n \to \infty)，\lim\limits_{n \to \infty}f(x_n) = L\,\,(x_n \neq a且x_n\in f(x)定义域)\)。

证明必要性(\(\Rightarrow\))：由函数极限定义得：
\(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exist\delta > 0\)，当\(0 < |x - a| < \delta\)时，满足\(|f(x) - L| < \varepsilon\)。
由\(\forall x_n \to a(n \to \infty)\)，得\(\exist N \in \mathbb{N}\)，\(n \geq N\)， \(0 < |x_n - a| < \varepsilon\)，满足\(|f(x_n) - L| < \varepsilon\)，即\(\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = L\)。

证明充分性(\(\Leftarrow\))：利用反证法，假设\(\lim\limits_{x \to a} f(x) \neq L\)，那么说明，对于\(\exist\varepsilon' > 0，\forall\delta > 0\)，当\(0 < |x - a| < \delta\)，使得\(|f(x) - a| \geq \varepsilon'\)，也就是说在\(x = a\)得去心邻域内，总存在一点使得\(\lim f(x) \neq L\)。
设\(x_n = \cfrac{1}{n}\)，那么有\(0 < |x_n - a| <\cfrac{1}{n}\) 推出 \(\forall x_n \to a(n \to \infty)\)，\(|f(x_n) - L| < \varepsilon'\)，由此与\(|f(x) - a| \geq \varepsilon'\)矛盾，所以假设不成立。

例题：

1. 求数列极限\(I = \lim\limits_{n \to \infty}n^2(\arctan\cfrac{2}{n} - \arctan\cfrac{2}{n + 1})\)。
   令\(x = \cfrac{1}{n}\)，当\(n \to \infty\)时，那么\(x \to 0^{+}\)，利用海涅定理将数列极限转为函数极限\(\lim\limits_{x \to 0}\cfrac{(\arctan2x - \arctan\cfrac{2x}{x + 1})}{x^2}\)，然后就可以使用洛必达或者拉格朗日中值定理了。

2. 求数列极限\(\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt n \sin\cfrac{\pi}{n}\)。
   令\(x = n\)，利用海涅定理将数列极限转为函数极限\(\lim\limits_{x \to \infty}\sqrt x \sin\cfrac{\pi}{x}\)，使用等价无穷小的代换直接做。

3. 证明极限\(\lim\limits_{x \to 0} \sin\cfrac{1}{x}\)不存在。
   取\(x_n' = \cfrac{1}{n \pi}\)，\(x_n'' = \cfrac{1}{2n\pi + \cfrac{\pi}{2}}\)，\(\lim\limits_{n \to \infty} x_n' = 0\)，\(\lim\limits_{n \to \infty} x_n'' = 0\)。

   \(\lim\limits_{n \to \infty} \cfrac{1}{x_n'} = 0 \neq \lim\limits_{n \to \infty}\cfrac{1}{x_n''} = 1\)，所以极限不存在。