海涅定理

海涅定理:limxaf(x)=Lxna(n)limnf(xn)=L(xnaxnf(x))

证明必要性():由函数极限定义得:
ε>0δ>0,当0<|xa|<δ时,满足|f(x)L|<ε
xna(n),得NNnN0<|xna|<ε,满足|f(xn)L|<ε,即limnf(xn)=L

证明充分性():利用反证法,假设limxaf(x)L,那么说明,对于ε>0δ>0,当0<|xa|<δ,使得|f(x)a|ε,也就是说在x=a得去心邻域内,总存在一点使得limf(x)L
xn=1n,那么有0<|xna|<1n 推出 xna(n)|f(xn)L|<ε,由此与|f(x)a|ε矛盾,所以假设不成立。

例题:

  1. 求数列极限I=limnn2(arctan2narctan2n+1)
    x=1n,当n时,那么x0+,利用海涅定理将数列极限转为函数极限limx0(arctan2xarctan2xx+1)x2,然后就可以使用洛必达或者拉格朗日中值定理了。

  2. 求数列极限limnnsinπn
    x=n,利用海涅定理将数列极限转为函数极限limxxsinπx,使用等价无穷小的代换直接做。

  3. 证明极限limx0sin1x不存在。
    xn=1nπxn=12nπ+π2limnxn=0limnxn=0

    limn1xn=0limn1xn=1,所以极限不存在。

posted @   Xxaj5  阅读(1570)  评论(0编辑  收藏  举报
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