高等数学中的经典反例

$\lim\limits_{n \to \infty} x_n = \alpha \Longleftrightarrow \lim\limits_{k \to \infty} x_{2k - 1} = \lim\limits_{k \to \infty} x_{2k} = \alpha$
例： $x = (-1) ^ n$ ， $\lim\limits_{k \to \infty} x_{2k - 1} = -1$ ， $\lim\limits_{k \to \infty} x_{2k} = 1$ ， $\lim\limits_{k \to \infty} x_{2k - 1} \neq \lim\limits_{k \to \infty} x_{2k}$ ，所以 $\lim\limits_{n \to \infty} x_n$ 不存在。
若 $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = \alpha$ ，则 $\lim\limits_{n \to \infty} |x_n| = |a|$ ，反之不成立。
例： $x_n = (-1) ^ n$ ， $\lim\limits_{n \to \infty} |x_n| = 1 = |1|$ ，但是 $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = \lim\limits_{n \to \infty} (-1)^n$ 不存在。
$\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = A \to \lim\limits_{n \to \infty}f(n) = A$ ，反过来不成立。
例： $f(x) = \sin \pi x$ 与 $f(n) = \sin n\pi$ ， $\lim\limits_{x \to \infty} f(x)$ 不存在， $\lim\limits_{n \to \infty} f(n) = 0$ ，存在。
$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ 存在，与 $x = x_0$ 处有没有定义无关，但是 $f(x)$ 必须在 $x = x_0$ 的某去心邻域 $\mathring{U}(x_0, \delta)$ 处处有定义。
例： $\lim\limits_{x \to 0} \cfrac{\sin x}{x} = 1$ ，且 $\lim\limits_{x \to 0}x \sin{\cfrac{1}{x}} = 0$ ，但是 $\lim\limits_{x \to 0} \cfrac{\sin(x \sin{\cfrac{1}{x}})}{x \sin{\cfrac{1}{x}}} \neq 1$ ，因为在 $0$ 的去心邻域内，如果 $x = \cfrac{1}{n \pi}$ ，那么 $\sin{\cfrac{1}{x}}$ 没有定义，因此不可以直接使用等价无穷小的代换。
保号性：
极限值保数列项：如果 $A > 0$ (或 $A < 0$ )，则存在 $N > 0$ ，当 $n > N$ 时， $x_n > 0$ （或 $x_n < 0$ ），但是可以加等号吗，即当 $A \geq 0$ ， $n > N$ 时， $x_n \geq 0$ （或 $x_n \leq 0$ ）？
例： $x(n) = \cfrac{(-1)^n}{n}$ ， $\lim\limits_{n \to 0} = 0$ ，而 $x_n != 0$ ，所以不能等号。
数列项保极限值：如果存在 $N > 0$ ，当 $n > N$ 时， $x_n \geq 0$ (或 $(x_n \leq 0)$ )，则 $A \geq 0$ (或 $A \leq 0$ )，但是不加等号吗，即当 $x_n > 0$ (或 $(x_n < 0)$ )，则 $A > 0$ (或 $A < 0$ ) ？
例： $x_n = \cfrac{1}{n}$ ， $x_n > 0$ ，但是 $\lim\limits_{x \to \infty} x_n = 0$ 。
有限个无穷小的和仍然是无穷小。
例：“有限”两个字一定不能缺少， $\lim\limits_{n \to \infty} [\cfrac{1}{n^2} + \cfrac{2}{n^2} + ... + \cfrac{n}{n^2}] = \lim\limits_{n \to \infty}\cfrac{\cfrac{1}{2} n (n + 1) }{n^2} = \cfrac{1}{2} \neq 0$ ，极限不再是无穷小。
无穷大量一定是无界变量，无界变量不一定是无穷大量。
例：

x_{n} = {\begin{array}{rcl} n & ， n 为 偶 数 \\ 0 & ， n 为 奇 数 \end{array}

$x_n =\left\{ \begin{array}{rcl} n &， n为偶数\\ 0 &， n为奇数\\ \end{array} \right.$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 奇数项无界，但是不满足无穷大的条件。

$f(x)$ 在某邻域 $\mathring{U}(x_0, \delta)$ 可导，但是 $\lim\limits_{x \to x_0} f'(x)$ 不存在。
例： $f(x) = \left\{\begin{array}{rcl} x^2 \sin{\cfrac{1}{x}} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0\end{array}\right.$
$x \neq 0$ ， $f'(x) = 2x\sin{\cfrac{1}{x}} - \cos{\cfrac{1}{x}}$ ；
$x = 0$ ， $f'(x) = \lim\limits_{x \to 0}\cfrac{x^2\sin{\cfrac{1}{x}} - 0}{x} = 0$ ，所以 $f(x)$ 处处可导，但是 $\lim\limits_{x \to 0}f'(x)$ 不存在。
极值点不一定是驻点，例如 $f(x) = |x|$ ， $x = 0$ 是极值点，但在这点不可导；驻点不一定是极值点，例如 $f(x) = x^3$ ， $f'(0) = 0$ ，所有 $x = 0$ 是驻点，但却不是极值点。
可积必有界，但是有界不一定可积，例如迪利克雷函数 $D(x) = \left\{\begin{array}{rcl} 1 & x为有理数\\ 0 & x为无理数\end{array}\right.$ $\,\,\,$ ，它有界但不可积，因为它不连续。
关于多元函数连续、可偏导、可微分之间关系的反例。

（1） $f(x, y) = |x| + |y|$ 在 $(0, 0)$ 点连续，但不可导（也不可微）。

证明连续： $\lim\limits_{(x, y)\to(0, 0)}(|x| + |y|) = f(0, 0) = 0$

证明不可导（也不可微）： $f(x, y_0) = f(x, 0) = |x|$ ，所以 $f_x'(0,0)$ 不存在，与此同理 $f_y'(0,0)$ 也不存在，因此 $f(x, y)$ 不可导，由于判断可微的第一条件就是判断 $f_x'(x_0,y_0)$ 与 $f_y'(x_0,y_0)$ 是否存在，因此不可微。

（2） $f(x, y) = \left\{\begin{array}{rcl} &\cfrac{xy}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ &0 ,& (x, y) = 0 \end{array}\right.$ 在 $(0, 0)$ 点可导，但不连续。

证明可导： $f_x'(0, 0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{f(0 + \Delta x, 0) - f(0, 0)}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{0 - 0}{\Delta x} = 0$ ，同理 $f_y'(0, 0) = 0$ 。因此 $f(x, y)$ 在 $(0, 0)$ 点可导。

证明不连续：对于 $\lim\limits_{(x, y)\to(0, 0)} \cfrac{xy}{x^2 + y^2}$ ，我们令 $y = kx$ ，即让 $(x_0, y_0)$ 从直线 $y = kx$ 上无限趋近与 $(0, 0)$ ，于是得:

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} = lim_{\binom{y = k x}{x \to 0}} \frac{k x^{2}}{x^{2} + k^{2} x^{2}} = \frac{k}{1 + k^{2}}

$\lim\limits_{(x, y)\to(0, 0)} \cfrac{xy}{x^2 + y^2} = \lim\limits_{y = kx \atop x \to 0}\cfrac{kx^2}{x^2 + k^2x^2} = \cfrac{k}{1 + k^2}$

由于 $k$ 是变化的，因此不满足从任意方向趋近于 $(0, 0)$ 极限都相等的条件，所以这个极限不存在，所以不连续。

（3） $f(x, y) = \left\{\begin{array}{rcl} &\cfrac{xy}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ &0 ,& (x, y) = 0 \end{array}\right.$ 在 $(0, 0)$ 点可导，但不可微。

证明可导： $f_x'(0, 0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{f(0 + \Delta x, 0) - f(0, 0)}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{0 - 0}{\Delta x} = 0$ ，同理 $f_y'(0, 0) = 0$ ，因此 $f(x, y)$ 在 $(0, 0)$ 点可导。

证明不可微：首先满足 $f_x'(0, 0)$ 与 $f_y'(0, 0)$ 都存在的条件；其次看是否满足以下式子：

lim_{\binom{Δ x \to 0}{Δ y \to 0}} \frac{Δ z - [f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) Δ x + f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) Δ y]}{ρ} = 0

$\lim\limits_{\Delta x \to 0 \atop \Delta y \to 0} \cfrac{\Delta z - [f_x'(x_0, y_0)\Delta x + f_y'(x_0, y_0)\Delta y]}{\rho} = 0$

其中 $\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)$ 、 $\rho = \sqrt {(\Delta x) ^2 + (\Delta y)^2}$ 。

将 $f(x, y)$ 带入式子得：

lim_{\binom{Δ x \to 0}{Δ y \to 0}} \frac{[f (Δ x, Δ y) - f (0, 0)] - [f_{x}^{'} (0, 0) Δ x + f_{y}^{'} (0, 0) Δ y]}{ρ} = lim_{\binom{Δ x \to 0}{Δ y \to 0}} \frac{Δ x Δ y}{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}

$\lim\limits_{\Delta x \to 0 \atop \Delta y \to 0} \cfrac{[f(\Delta x, \Delta y) - f(0, 0)] - [f_x'(0, 0)\Delta x + f_y'(0, 0)\Delta y]}{\rho} = \lim\limits_{\Delta x \to 0 \atop \Delta y \to 0} \cfrac{\Delta x \Delta y}{(\Delta x) ^2 + (\Delta y)^2}$

而这个式子 $\lim\limits_{\Delta x \to 0 \atop \Delta y \to 0} \cfrac{\Delta x \Delta y}{(\Delta x) ^2 + (\Delta y)^2}$ 在（2）中证明，极限不存在，因此 $f(x, y)$ 在 $(0, 0)$ 点不可微。

（4） $f(x, y) = \left\{\begin{array}{rcl} & (x^2 + y^2) \sin\cfrac{1}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0)\\ & 0, & (x, y) = 0\end{array}\right.$ 在 $(0, 0)$ 点可微，但偏导数不连续。

证明可微：首先判断 $f_x'(0, 0)$ 与 $f_y'(0, 0)$ 是否都存在， $f_x'(0, 0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{f(0 + \Delta x, 0) - f(0, 0)}{\Delta x} = (\Delta x)^2 \sin\cfrac{1}{(\Delta x)^2} = 0$ ，同理 $f_y'(0, 0) = 0$ ，因此第一条件满足；其次判断 $\lim\limits_{\Delta x \to 0 \atop \Delta y \to 0} \cfrac{\Delta z - [f_x'(x_0, y_0)\Delta x + f_y'(x_0, y_0)\Delta y]}{\rho}$ 是否为0，步骤如下：

lim_{\binom{Δ x \to 0}{Δ y \to 0}} \frac{Δ z - [f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) Δ x + f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) Δ y]}{ρ} = \sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}} \sin \frac{1}{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}} = 0

$\lim\limits_{\Delta x \to 0 \atop \Delta y \to 0} \cfrac{\Delta z - [f_x'(x_0, y_0)\Delta x + f_y'(x_0, y_0)\Delta y]}{\rho} = \sqrt{(\Delta x) ^2 + (\Delta y)^2} \sin\cfrac{1}{(\Delta x) ^2 + (\Delta y)^2} = 0$

因此 $f(x, y)$ 在 $(0, 0)$ 点可微。

证明偏导不连续：即证明 $\lim\limits_{x \to 0 \atop y \to 0}f_x'(x, y) = f_x'(0, 0)$ 与 $\lim\limits_{x \to 0 \atop y \to 0}f_y'(x, y) = f_y'(0, 0)$ ，其中 $f_x'(0, 0) = f_y'(0, 0) = 0$

$\lim\limits_{x \to 0 \atop y \to 0}f_x'(x, y) = \lim\limits_{x \to 0 \atop y \to 0} (2x \sin\cfrac{1}{x^2 + y^2} - \cfrac{2x}{x^2 + y^2}\cos\cfrac{1}{x^2 + y^2})$ ，其中 $\lim\limits_{x \to 0 \atop y \to 0} (2x \sin\cfrac{1}{x^2 + y^2}) = 0$ ，而

$\lim\limits_{x \to 0 \atop y \to 0}(\cfrac{2x}{x^2 + y^2}\cos\cfrac{1}{x^2 + y^2}) = \lim\limits_{y = 0 \atop x \to 0}(\cfrac{2x}{x^2 + y^2}\cos\cfrac{1}{x^2 + y^2}) = \lim\limits_{x\to 0}(\cfrac{2}{x} \cos\cfrac{1}{x^2})$ 不存在，因此得 $\lim\limits_{x \to 0 \atop y \to 0}f_x'(x, y) = f_x'(0, 0)$ 不存在，那么 $f(x, y)$ 在 $(0, 0)$ 点偏导不连续。