高等数学中的经典反例
高等数学中的经典反例
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\(\lim\limits_{n \to \infty} x_n = \alpha \Longleftrightarrow \lim\limits_{k \to \infty} x_{2k - 1} = \lim\limits_{k \to \infty} x_{2k} = \alpha\)
例：\(x = (-1) ^ n\)，\(\lim\limits_{k \to \infty} x_{2k - 1} = -1\)， \(\lim\limits_{k \to \infty} x_{2k} = 1\)，\(\lim\limits_{k \to \infty} x_{2k - 1} \neq \lim\limits_{k \to \infty} x_{2k}\)，所以\(\lim\limits_{n \to \infty} x_n\)不存在。 -
若\(\lim\limits_{n \to \infty} x_n = \alpha\)，则\(\lim\limits_{n \to \infty} |x_n| = |a|\)，反之不成立。
例：\(x_n = (-1) ^ n\)，\(\lim\limits_{n \to \infty} |x_n| = 1 = |1|\)，但是\(\lim\limits_{n \to \infty} x_n = \lim\limits_{n \to \infty} (-1)^n\)不存在。 -
\(\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = A \to \lim\limits_{n \to \infty}f(n) = A\)，反过来不成立。
例：\(f(x) = \sin \pi x\)与\(f(n) = \sin n\pi\)，\(\lim\limits_{x \to \infty} f(x)\)不存在，\(\lim\limits_{n \to \infty} f(n) = 0\)，存在。 -
\(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)\)存在，与\(x = x_0\)处有没有定义无关，但是\(f(x)\)必须在\(x = x_0\)的某去心邻域\(\mathring{U}(x_0, \delta)\)处处有定义。
例： \(\lim\limits_{x \to 0} \cfrac{\sin x}{x} = 1\)，且\(\lim\limits_{x \to 0}x \sin{\cfrac{1}{x}} = 0\)，但是\(\lim\limits_{x \to 0} \cfrac{\sin(x \sin{\cfrac{1}{x}})}{x \sin{\cfrac{1}{x}}} \neq 1\)，因为在\(0\)的去心邻域内，如果\(x = \cfrac{1}{n \pi}\)，那么\(\sin{\cfrac{1}{x}}\)没有定义，因此不可以直接使用等价无穷小的代换。 -
保号性：
极限值保数列项：如果\(A > 0\) (或 \(A < 0\))，则存在\(N > 0\)，当\(n > N\)时，\(x_n > 0\)（或\(x_n < 0\)），但是可以加等号吗，即当\(A \geq 0\)，\(n > N\)时，\(x_n \geq 0\)（或\(x_n \leq 0\)）？
例：\(x(n) = \cfrac{(-1)^n}{n}\)，\(\lim\limits_{n \to 0} = 0\)，而\(x_n != 0\)，所以不能等号。
数列项保极限值：如果存在\(N > 0\)， 当\(n > N\)时，\(x_n \geq 0\)(或\((x_n \leq 0)\))，则\(A \geq 0\)(或\(A \leq 0\))，但是不加等号吗，即当\(x_n > 0\)(或\((x_n < 0)\))，则\(A > 0\)(或\(A < 0\)) ？
例：\(x_n = \cfrac{1}{n}\)，\(x_n > 0\)， 但是\(\lim\limits_{x \to \infty} x_n = 0\)。 -
有限个无穷小的和仍然是无穷小。
例：“有限”两个字一定不能缺少，\(\lim\limits_{n \to \infty} [\cfrac{1}{n^2} + \cfrac{2}{n^2} + ... + \cfrac{n}{n^2}] = \lim\limits_{n \to \infty}\cfrac{\cfrac{1}{2} n (n + 1) }{n^2} = \cfrac{1}{2} \neq 0\)，极限不再是无穷小。 -
无穷大量一定是无界变量，无界变量不一定是无穷大量。
例：
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)奇数项无界，但是不满足无穷大的条件。
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\(f(x)\)在某邻域\(\mathring{U}(x_0, \delta)\)可导，但是\(\lim\limits_{x \to x_0} f'(x)\)不存在。
例：\(f(x) = \left\{\begin{array}{rcl} x^2 \sin{\cfrac{1}{x}} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0\end{array}\right.\)
\(x \neq 0\)，\(f'(x) = 2x\sin{\cfrac{1}{x}} - \cos{\cfrac{1}{x}}\)；
\(x = 0\)，\(f'(x) = \lim\limits_{x \to 0}\cfrac{x^2\sin{\cfrac{1}{x}} - 0}{x} = 0\)，所以\(f(x)\)处处可导，但是\(\lim\limits_{x \to 0}f'(x)\)不存在。 -
极值点不一定是驻点，例如\(f(x) = |x|\)，\(x = 0\)是极值点，但在这点不可导；驻点不一定是极值点，例如\(f(x) = x^3\)，\(f'(0) = 0\)，所有\(x = 0\)是驻点，但却不是极值点。
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可积必有界，但是有界不一定可积，例如迪利克雷函数\(D(x) = \left\{\begin{array}{rcl} 1 & x为有理数\\ 0 & x为无理数\end{array}\right.\) \(\,\,\,\)，它有界但不可积，因为它不连续。
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关于多元函数连续、可偏导、可微分之间关系的反例。
（1）\(f(x, y) = |x| + |y|\)在\((0, 0)\)点连续，但不可导（也不可微）。
证明连续：\(\lim\limits_{(x, y)\to(0, 0)}(|x| + |y|) = f(0, 0) = 0\)
证明不可导（也不可微）：\(f(x, y_0) = f(x, 0) = |x|\)，所以\(f_x'(0,0)\)不存在，与此同理\(f_y'(0,0)\)也不存在，因此\(f(x, y)\)不可导，由 于判断可微的第一条件就是判断\(f_x'(x_0,y_0)\)与\(f_y'(x_0,y_0)\)是否存在，因此不可微。
（2）\(f(x, y) = \left\{\begin{array}{rcl} &\cfrac{xy}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ &0 ,& (x, y) = 0 \end{array}\right.\)在\((0, 0)\)点可导，但不连续。
证明可导：\(f_x'(0, 0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{f(0 + \Delta x, 0) - f(0, 0)}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{0 - 0}{\Delta x} = 0\)，同理\(f_y'(0, 0) = 0\)。因此\(f(x, y)\)在\((0, 0)\)点可导。
证明不连续：对于\(\lim\limits_{(x, y)\to(0, 0)} \cfrac{xy}{x^2 + y^2}\)，我们令\(y = kx\)，即让\((x_0, y_0)\)从直线\(y = kx\)上无限趋近与\((0, 0)\)，于是得:
由于\(k\)是变化的，因此不满足从任意方向趋近于\((0, 0)\)极限都相等的条件，所以这个极限不存在，所以不连续。
（3）\(f(x, y) = \left\{\begin{array}{rcl} &\cfrac{xy}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ &0 ,& (x, y) = 0 \end{array}\right.\)在\((0, 0)\)点可导，但不可微。
证明可导：\(f_x'(0, 0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{f(0 + \Delta x, 0) - f(0, 0)}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{0 - 0}{\Delta x} = 0\)，同理\(f_y'(0, 0) = 0\)，因此\(f(x, y)\)在\((0, 0)\)点可导。
证明不可微：首先满足\(f_x'(0, 0)\)与\(f_y'(0, 0)\)都存在的条件；其次看是否满足以下式子：
其中\(\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)\)、\(\rho = \sqrt {(\Delta x) ^2 + (\Delta y)^2}\)。
将\(f(x, y)\)带入式子得：
而这个式子\(\lim\limits_{\Delta x \to 0 \atop \Delta y \to 0} \cfrac{\Delta x \Delta y}{(\Delta x) ^2 + (\Delta y)^2}\)在（2）中证明，极限不存在，因此\(f(x, y)\)在\((0, 0)\)点不可微。
（4）\(f(x, y) = \left\{\begin{array}{rcl} & (x^2 + y^2) \sin\cfrac{1}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0)\\ & 0, & (x, y) = 0\end{array}\right.\) 在\((0, 0)\)点可微，但偏导数不连续。
证明可微：首先判断\(f_x'(0, 0)\)与\(f_y'(0, 0)\)是否都存在，\(f_x'(0, 0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{f(0 + \Delta x, 0) - f(0, 0)}{\Delta x} = (\Delta x)^2 \sin\cfrac{1}{(\Delta x)^2} = 0\)，同理 \(f_y'(0, 0) = 0\)，因此第一条件满足；其次判断\(\lim\limits_{\Delta x \to 0 \atop \Delta y \to 0} \cfrac{\Delta z - [f_x'(x_0, y_0)\Delta x + f_y'(x_0, y_0)\Delta y]}{\rho}\)是否为0，步骤如下：
因此\(f(x, y)\)在\((0, 0)\)点可微。
证明偏导不连续：即证明\(\lim\limits_{x \to 0 \atop y \to 0}f_x'(x, y) = f_x'(0, 0)\)与\(\lim\limits_{x \to 0 \atop y \to 0}f_y'(x, y) = f_y'(0, 0)\)，其中\(f_x'(0, 0) = f_y'(0, 0) = 0\)
\(\lim\limits_{x \to 0 \atop y \to 0}f_x'(x, y) = \lim\limits_{x \to 0 \atop y \to 0} (2x \sin\cfrac{1}{x^2 + y^2} - \cfrac{2x}{x^2 + y^2}\cos\cfrac{1}{x^2 + y^2})\)，其中\(\lim\limits_{x \to 0 \atop y \to 0} (2x \sin\cfrac{1}{x^2 + y^2}) = 0\)，而
\(\lim\limits_{x \to 0 \atop y \to 0}(\cfrac{2x}{x^2 + y^2}\cos\cfrac{1}{x^2 + y^2}) = \lim\limits_{y = 0 \atop x \to 0}(\cfrac{2x}{x^2 + y^2}\cos\cfrac{1}{x^2 + y^2}) = \lim\limits_{x\to 0}(\cfrac{2}{x} \cos\cfrac{1}{x^2})\)不存在，因此得\(\lim\limits_{x \to 0 \atop y \to 0}f_x'(x, y) = f_x'(0, 0)\)不存在，那么 \(f(x, y)\)在\((0, 0)\)点偏导不连续。
