数位DP总结

数位\(DP\)

经过一天半的苦苦挣扎，真的很感谢\(Acwing \,\, yxc\)的讲解,终于感觉自己入门一些了。

数位\(DP\)通常是给定一个\([L,R]\)区间，让你求区间中满足题目要求的数的个数，然后我们只需要利用前缀和思想，分别求出\([0, R]\)和\([0, L]\)的满足要求的数的个数，设\(f(r)\)为\([0, R]\)的满足要求的数的个数，设\(f(l)\)为\([0, l]\)的满足要求的数的个数，然后\(f(r) - f(l - 1)\)即可。

原来数位\(DP\)也有模板，模板如下。

void init() {
}

int dp(int n) {
	if (!n) return ？; //通常是特判掉n为0的情况，如果n = 0满足题目要求就返回1，否则返回0
	
	vector<int> nums;
	while (n) nums.push_back(n % 10), n /= 10; //取出所有数位
	int res = 0, last = 0; //last记录上一位数字是啥玩意
	
	for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--) {
		int x = nums[i];
		for (int j = 0; j < x; j++) {
			if (限制条件) continue;
			res += f[i + 1][j];
		}
		
		if (限制条件) break;
		last = x;
		
		if (!i && 限制条件满足要求) res++;
	}
	
	return res;
}

int main() {
	while (cin >> l >> r, l) {
		init();
		
		cout << dp(r) - dp(l - 1) << endl;	
	}
	
    return 0;
}

还有就是根据题目要求预先处理出\(DP\)数组，这个\(DP\)很灵活，可能是就让预处理一个组合数，也可能是一个其他类型的\(DP\)，这也是数位\(DP\)的难点。

下面是做的几道题目：

AcWing 1081. 度的数量

因为这个题要求填非\(0\)，即\(1\)，我们就需要预处理出一个组合数，然后\(last\)维护的是前边已经出现几个\(1\)了, \(f[i][j]\)表示从\(i\)个数中选\(j\)个的方案的集合。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 35;
int f[N][N];
int l, r; 
int k, b; 

void init() {
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j <= i; j++) {
            if (!j) f[i][j] = 1;
            else f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1];
        }
    }
}

int dp(int n) {
    if (!n) return 0;

    vector<int> nums;
    while (n) nums.push_back(n % b), n /= b;

    int res = 0, last = 0;

    for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--) {
        int x = nums[i];
        if (x) {
            res += f[i][k - last]; //如果当前这位为0
            if (x > 1) { //根据上面推出的情况 非1即0，出现x大于1，那么剩下的位数就不用看了。
                if (k - last - 1 > 0) res += f[i][k - last - 1]; 
                break;
            } else if (x == 1) {
                last++;
                if (last > k) break;
            }
        }
        if (!i && last == k) res++; //最后右边分支的一种，n本身就是一个合法数字
    }

    return res;
}

int main() {

    init();

    cin >> l >> r;
    cin >> k >> b;

    cout << dp(r) - dp(l - 1) << endl;

    return 0;
}

AcWing 1082. 数字游戏

这个数要求是不降数，那么我们可以把\(f[i][j]\)设成一共有\(i\)位，且最高位为\(j\)的不降数的集合，因为要求数字是单调非减的，那么我们\(last\)维护的就是上一位数字是几，当前数字\(x\)一定不能小于它。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 15;

int f[N][N]; //表示一共有i位，且最高位填j的方案

void init() {
    for (int i = 0; i <= 9; i++) f[1][i] = 1; //一共有1位，先预处理

    for (int i = 2; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j <= 9; j++) {
            for (int k = j; k <= 9; k++) {
                f[i][j] += f[i - 1][k];
            }
        }
    }
}

int dp(int n) {
    if (!n) return 1;

    vector<int> nums;
    while (n) nums.push_back(n % 10), n /= 10;
    int res = 0;
    int last = 0;

    for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--) {
        int x = nums[i];
        if (x < last) break;
        for (int j = last; j < x; j++) {
            res += f[i + 1][j];
        }

        last = x;

        if (!i) res++;
    }

    return res;
}

int main() {
    int l, r;

    init();

    while (cin >> l >> r) {
        cout << dp(r) - dp(l - 1) << endl;
    }

    return 0;
}

AcWing 1083. Windy数

要求数位间两个数字之差至少位2，那么\(f[i][j]\)表示为设成一共有\(i\)位，且最高位为\(j\)的Windy数的集合，\(last\)维护的就是上一位数字是几，要求\(abs(x - last) >= 2\)。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 15;
int f[N][N]; //f[i][j]表示有i位，且最高位为j的集合

void init() {
    for (int i = 0; i <= 9; i++) f[1][i] = 1;

    for (int i = 2; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j <= 9; j++) {
            for (int k = 0; k <= 9; k++) {
                if (abs(j - k) >= 2) f[i][j] += f[i - 1][k];
            }
        }
    }
}

int dp(int n) {
    if (!n) return 0;

    vector<int> nums;
    while (n) nums.push_back(n % 10), n /= 10;
    int res = 0, last = 12;
    for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--) {
        int x = nums[i];
        for (int j = i == nums.size() - 1; j < x; j++) {
            if (abs(j - last) >= 2) 
                res += f[i + 1][j];
        }

        if (abs(x - last) >= 2) last = x;
        else break;

        if (!i) res++;
    }

    //处理含前导0的情况
    for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
        for (int j = 1; j <= 9; j++) {
            res += f[i][j];
        }
    }

    return res;
}

int main() {
    int l, r;

    init();

    cin >> l >> r;

    cout << dp(r) - dp(l - 1) << endl;

    return 0;
}

AcWing 1084. 数字游戏 II

题目要求数字的各位之和\(Mod \,\, P\)为0，\(f[i][j][k]\)表示一共有\(i\)位，且最高位为\(j\)，数位和\(Mod \,\,P\,=\,k\)的数的集合，\(last\)表示前边的数位和。

设\(nums\)里从低到高存了一个数\(n\)的各位数字，所以倒序枚举,\(x\)表示当前枚举到的那一位，对于题目的要求需满足，\((a_{n - 1} + a_{n - 2} + x + ... +()) \,\, Mod \,\,N = 0\)，我们用\(last\)记录前边位数的和，\(last = a_{n - 1} + a_{n - 2}\)，那么再\(DP\)的过程根据上面的要求，我们需要满足:\((x + ... + ()) \,\, Mod \,\, N = -last \,\, Mod \,\, N\)，注意因为\(C++\)的特性，负数取模还是负数，所以我们可以这样做，把其取模后的数转成正的。

int mod(int x, int y) {
	return (x % y + y) % y;
}

// Problem: 数字游戏 II
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/1086/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 11, M = 110;
int f[N][10][M]; //一共有i位且最高位为j的且数位和 Mod P = k的集合

int l, r, P;

int mod(int x, int y) {
	return (x % y + y) % y;
}

void init() {
	memset(f, 0, sizeof f);
	
	for (int i = 0; i <= 9; i++) f[1][i][i % P]++;
	
	for (int i = 2; i < N; i++) {
		for (int j = 0; j <= 9; j++) {
			for (int k = 0; k < P; k++) {
				for (int x = 0; x <= 9; x++) {
					f[i][j][k] += f[i - 1][x][mod(k - j, P)];
				}
			}
		}
	}
}

int dp(int n) {
	if (!n) return 1;
	
	vector<int> nums;
	while (n) nums.push_back(n % 10), n /= 10;
	
	int res = 0, last = 0;
	for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--) {
		int x = nums[i];
		for (int j = 0; j < x; j++) res += f[i + 1][j][mod(-last, P)];
		
		last += x;
		
		if (!i && last % P == 0) res++;
	}
	
	return res;
}

int main() {
	while (cin >> l >> r >> P) {
		init();
		
		cout << dp(r) - dp(l - 1) << endl;
	}
	
    return 0;
}

AcWing 1085. 不要62

这个题目就可以独立做出来了，不要\(4\)和不要\(62\)，那\(f[i][j]\)表示为设成一共有\(i\)位，且最高位为\(j\)的数的集合，用\(last\)表示上一位数，用\(x\)表示当前枚举的数，如果\(last = 6\) 并且 \(x = 2\)或者\(x = 4\)就是不符合条件的。

// Problem: 不要62
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/1087/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 11;
int f[N][N]; //一共有i位,并且最高位为j的方案集合

int l, r;

void init() {
	memset(f, 0, sizeof f);
	
	for (int i = 0; i <= 9; i++) {
		if (i != 4) f[1][i] = 1;
	}
	
	for (int i = 2; i < N; i++) {
		for (int j = 0; j <= 9; j++) {
			for (int k = 0; k <= 9; k++) {
				if (j == 4 || k == 4) continue;
				if (j == 6 && k == 2) continue;
				f[i][j] += f[i - 1][k];
			}
		}
	}
}

int dp(int n) {
	if (!n) return 1;
	
	vector<int> nums;
	while (n) nums.push_back(n % 10), n /= 10;
	int res = 0, last = 0; //last记录上一位数字是啥玩意
	
	for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--) {
		int x = nums[i];
		for (int j = 0; j < x; j++) {
			if ((j == 4) || (last == 6 && j == 2)) continue;
			res += f[i + 1][j];
		}
		
		if (x == 4 || last == 6 && x == 2) break;
		last = x;
		
		if (!i) res++;
	}
	
	return res;
}

int main() {
	while (cin >> l >> r, l) {
		init();
		
		cout << dp(r) - dp(l - 1) << endl;	
	}
	
    return 0;
}