AcWing 168. 生日蛋糕

原题链接:AcWing 168. 生日蛋糕

设当前体积是$v，h、r$分别记录每层的高度和半径，由于整个蛋糕的上表面面积等于最大蛋糕的圆面积，所以枚举到最大一层的时候直接加上即可。

1. 优化搜索顺序：搜数量小的分支，可以从蛋糕最下边一层开始搜索，因为最下边一层占体积最大，然后对于枚举半径$R$和高度$H$，肯定是先枚举半径$R$，因为它对体积的贡献是平方级别的。

2. 上下界剪枝：在第$depth$层时，对于$R$与$H$可以求一个范围：

   枚举$R \in [depth, \,\, min( \lfloor \sqrt{N - v} \rfloor, \,\, r[depth + 1] - 1)]$，

   枚举$H \in [depth, \,\, min( \lfloor cfrac{(N - v)}{R^2} \rfloor, \,\, h[depth + 1] - 1)]$

3. 可行性剪枝：
   预处理出每一层的最小体积和表面积，显然，第$1 到 i$层的$r$分别取$1, 2, 3, ..., i$即可，高度也分别取$1, 2, 3, ..., i$。那么当当前$v$加$1$到$depth - 1$层的$minv$大于$N$那么直接返回。

4. 最优性剪枝$1$：
   如果当前表面积$s$加上$1$到$depth - 1$层的$mins$，那么就剪枝。

5. 最优性剪枝$2$:
   利用$h$和$r$数组，$1$到$depth-1$层的体积可以表示为 $n - v = \sum\limits_{k = 1}^{depth-1} h[k] * r[k]^2$，1到depth - 1层的表面积可以表示为$2 * \sum\limits_{k=1}^{depth - 1} h[k]*r[k]$。

   利用放缩法，$2 * \sum\limits_{k=1}^{depth - 1} h[k]*r[k] = \cfrac{2}{r[depth]} * \sum\limits_{k = 1}^{depth - 1} h[k] * r[k] * r[depth] \geq \cfrac{2}{r[depth]} * \sum\limits_{k = 1}^{depth - 1} h[k] * r[k]^2 \geq \cfrac{2(n - v)}{r[depth]}$，所以当$\cfrac{2(n - v)}{r[depth]} + s$大于已经搜到的答案时，可以剪枝。

// Problem: 生日蛋糕
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/170/
// Memory Limit: 10 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 25, INF = 1E9;

int n, m;
int R[N], H[N];
int res = INF;
int minv[N], mins[N];

void dfs(int u, int v, int s) {
	if (v + minv[u] > n) return;
	if (s + mins[u] >= res) return;
	if (s + 2 * (n - v) / R[u + 1] >= res) return;
	
	//说明已经从上往下搜到了最后一层
	if (!u) {
		if (v == n) res = s;
		return;
	}
	
	for (int r = min(R[u + 1] - 1, (int)sqrt(n - v)); r >= u; r--) {
		for (int h = min(H[u + 1] - 1, (n - v) / r / r); h >= u; h--) {
			int t = 0;
			if (u == m) t = r * r;
			R[u] = r, H[u] = h;
			
			dfs(u - 1, v + r * r * h, s + 2 * r * h + t);
		}
	}
}

int main() { 
	cin >> n >> m;
	
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		minv[i] = minv[i - 1] + i * i * i;
		mins[i] = mins[i - 1] + i * i * 2;
	}
	
	R[m + 1] = H[m + 1] = INF;
	
	dfs(m, 0, 0);
	
	if (res == INF) res = 0;
	cout << res << endl;
	
    return 0;
}