启发式搜索

启发式搜索 A*

从用优先队列的$BFS$开始想，优先队列的$BFS$策略显然不够完善，因为我们只在乎当前代价很小，而对于未来的搜索中，代价可能会更大，而那先当前代价大的在未来的代价中可能很小，所以为了提高搜索效率，可以对未来产生的代价进行预估，即估价函数，我们仍然维护一个堆，那么每次从堆中取出的就是“当前代价+未来预估代价”。

定义起点为s，终点为t，从起点开始的距离函数$g(x)$，相当于当前代价，到终点的距离函数$h(x)$，相当于未来估价，那么每个点在优先队列中形式就是$f(x) = g(x) + h(x)$，$h(x)$就是估价函数。

特别像 $Dijkstra$

while (q.size()) {
	t = 优先队列队头
	当终点第一次出队时，break
	for 所有邻边
		将邻边入队
}

1. 处理非负边权

2. 设$g(state)$是从当前状态到目标状态的最小代价，$f(state)$是从当前状态到目标状态的估计值，那么必须满足：

$$f(state) \,\,\leq\,\, g(state)$$

$f(state)$越接近于$g(state)$，那么效率越高，如果$f(state)$，那么效率就等价于普通的优先队列$BFS$

注意：

1. 在$Dijkstra$算法中，每个点出队就是最优解。

2. 在普通$BFS$中，每个点入队就是最优解。

3. 在$A*$算法中，除了终点以外，其他点一定不满足出队就是最优解，也就是说每个点不止被更新一次。