RMQ/ST表

应用倍增的思想，主要用来解决区间最值问题，可以做到\(O(NlogN)\)预处理，\(O(1)\)查询，相比于线段树代码更短，但是不支持修改，是静态数据结构，本质就是一个动态规划。

设\(f(i,j)\)表示起点为\(i\)，区间大小为\(2^j\)的最大值，即区间\([i, i + 2^j - 1]\)里的最大值，那么边界就是\(f(i,0)\)，即\(w[i]\)。

递推的时候让子区间成倍增长，得递推式\(f(i, j) = max(f(i,j - 1), f(i + 2^{j - 1},j - 1)\)，如下图。

代码

void init() {
    for (int j = 0; j < M; j++) {
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) {
            if (!j) f[i][j] = w[i];
            else f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
        }
    }
}

查询任意区间\([l, r]\)时，先计算一个\(k\)，使得\(2^k\)是小于区间长度得一个最大得\(k\)，那么从\(l\)开始得\(2^k\)个数和以\(r\)为结尾得\(2^k\)个数就覆盖了整个区间\([l, r]\)，如下图。

即使有重叠也没有关系，那么区间最大值就是\(max(f(l, k), f(r - 2^k + 1, k))\)
代码

int query(int l, int r) {
    int len = r - l + 1;
    int k = log(len) / log(2);
    return max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]);
}

例题AcWing 1273. 天才的记忆

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 2e5 + 10, M = 18;
int f[N][M], w[N]; //f[i][j]表示从i开始长度为2^j的区间最大值是多少
int n, m;

void init() {
    for (int j = 0; j < M; j++) {
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) {
            if (!j) f[i][j] = w[i];
            else f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
        }
    }
}

int query(int l, int r) {
    int len = r - l + 1;
    int k = log(len) / log(2);
    return max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i];
    
    init();
    
    cin >> m;
    while (m--) {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << query(l, r) << endl;
    }
    
    return 0;
}