AcWing 368. 银河

原本是一个差分约束的问题，但是由于数据过大可能导致$spfa$被卡，而由于这道题的边权只有$0，1$两种，比较特殊，所以使用$tarjan$求连通分量，缩点，递推的方式也能完成，时间复杂度是线性的。

用差分约束的思路根据不等式建图，然后从$0$号节点开始求单源最长路，若图中存在正环那么无解。否则，从$0$到每个节点的最长路的长度就是对应最小合法亮度。在这道题中，建立的图中边权只有$0，1$两种。同时，如果图中存在一个环，那么环上的边的长度必然全是$0$才行，不然就说明存在正环，即无解。

而我们知道，环又一定是在强连通分量中的，所以我们可以求图的强连通分量，只要强连通分量内部存在长度为$1$的点，那么就无解。

如果有解，因为每个强连通分量内部没有边权为$1$的边，全$0$，所以对于一个强连通分量中的点来说，从源点到强连通分量的距离就等于到强连通分量中点的距离，所以进行缩点，建立新图，由于$tarjan$算法后，强连通分量编号的逆序就是拓扑序，所以直接递推求距离，然后答案就是$res += Size[i] * dist[i]$。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1E5 + 10, M = 6E5 + 10;

typedef long long LL;

int h[N], hs[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
int dfn[N], low[N], timestamp;
int stk[N], top;
bool in_stk[N];
int id[N], scc_cnt, scc_size[N];
int dist[N];
int n, m;

void add(int h[], int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

void tarjan(int u) {
    dfn[u] = low[u] = ++timestamp;
    stk[++top] = u, in_stk[u] = true;
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        if (!dfn[j]) {
            tarjan(j);
            low[u] = min(low[u], low[j]);
        } else if (in_stk[j]) low[u] = min(low[u], dfn[j]);
    }
    
    if (dfn[u] == low[u]) {
        ++scc_cnt;
        int y;
        do {
            y = stk[top--];
            in_stk[y] = false;
            id[y] = scc_cnt;
            scc_size[scc_cnt]++;
        } while(y != u);
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(h, -1, sizeof h);
    memset(hs, -1, sizeof h);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) add(h, 0, i, 1);
    
    while (m--) {
        int t, a, b;
        scanf("%d%d%d", &t, &a, &b);
        if (t == 1) add(h, b, a, 0), add(h, a, b, 0);
        else if (t == 2) add(h, a, b, 1);
        else if (t == 3) add(h, b, a, 0);
        else if (t == 4) add(h, b, a, 1);
        else if (t == 5) add(h, a, b, 0);
    }
    
    tarjan(0);
    //建立新图
    bool success = true;
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        for (int j = h[i]; j != -1; j = ne[j]) {
            int k = e[j];
            int a = id[i], b = id[k];
            //在一个强联通分量
            if (a == b) {
                //说明存在正环
                if (w[j] > 0) {
                    success = false;
                    break;
                }
            } else add(hs, a, b, w[j]);
        }
    }
    
    if (!success) puts("-1");
    else {
        for (int i = scc_cnt; i; i--) {
            for (int j = hs[i]; j != -1; j = ne[j]) {
                int k = e[j];
                dist[k] = max(dist[k], dist[i] + w[j]);
            }
        }
        
        LL res = 0;
        for (int i = 1; i <= scc_cnt; i++) res += (LL) dist[i] * scc_size[i];
        
        printf("%lld\n", res);
    }
    
    return 0;
}