博弈论之SG函数

参考自《算法竞赛进阶指南》

$NIM$博弈：

$n$堆物品，第$i$堆物品有$A_i$个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品的人获胜。假设两人每一步都必然采取最优的策略。问先手是否必胜。

定理：

若先手必赢，那么当且仅当满足：$A_1 \,\, xor \,\, A_2 \,\, xor \,\, A_3 \,\, ... \,\, xor \,\, A_n != 0$

两个概念：

必败局面：若某一局面无论采取什么行动，都会输掉游戏，则称该局面必败。
必胜局面：若在某一局面下采取某种行动后可以使对手面对必败局面，那么优先采取此行动，那么这种局面叫必胜局面。

证明：

1. 如果所有物品被取光，那么即$A_i = 0$，那么这是一个必败局面，则满足:$A_1 \,\, xor \,\, A_2 \,\, xor \,\, A_3 \,\, ... \,\, xor \,\, A_n == 0$
2. 对于任意一个$A_1 \,\, xor \,\, A_2 \,\, xor \,\, A_3 \,\, ... \,\, xor \,\, A_n = x != 0$局面，那么我们应该证明它一定可以采取一定行动来出现$x = 0$的局面（即对手必败局面）。

• 设$x$的二进制表示下最高位的$1$在第$k$位，那么至少存在一堆石子$A_i$，它的第$k$位是$1$，显然$A_i \,\, xor \,\, x \,\, < \,\, A_i$，然后我们便可以从$A_i$中取走$A_i - A_i \,\, xor \,\, x$个石子，使这堆石子变为$A_i \,\, xor \,\, x$个石子，那么代入式子得：$x \,\, xor \,\, x = 0$

3. 对于任意一个$A_1 \,\, xor \,\, A_2 \,\, xor \,\, A_3 \,\, ... \,\, xor \,\, A_n = x == 0$局面，那么我们应该证明无论采取什么行动都不可能出现出现$x = 0$的局面。

• 用反证法证明：假设$A_i$被取成了$A_i'$，那么此时就应该满足$A_1 \,\, xor \,\, A_2 \,\, xor \,\, A_3 \,\, ... \,\, xor \,\, A_i', \,\, ... \,\, xor \,\, A_n != 0$，由于$A_1 \,\, xor \,\, A_2 \,\, xor \,\, A_3 \,\, ... \,\, xor \,\, A_n == A_i$， 那么则出现了$A_i \,\, xor \,\, A_i' == 0$得情况，说明$A_i == A_i'$，那么这显然不对与题目要求“不能不取石子”矛盾。

Mex运算

设$S$表示一个非负整数集合。定义$mex(S)$为求出不属于集合S得最小非负整数的运算，即：

$$mex(S) \,\, = \min\limits_{x \in N, x \notin S}\{x\}$$

SG函数

有向图中，对于每个节点$x$，设从$x$出发共有$k$条有向边，分别到达节点$y_1, y_2, ..., y_k$，定义$SG(x)$为$x$的后继节点$y_1, y_2, ..., y_k$的$SG$函数值构成的集合，再执行$mex$运算，即：

$$SG(x) = mex({SG(y_1), SG(y_2), ... ,SG(y_k)})$$

整个有向图的$SG$函数就是图的起点的$SG$,$SG(G) = SG(s)$

那么多个有向图的游戏中，行动规则是任选一个有向图$G_i$，并在$G_i$中行动一步，那么类比于$NIM$游戏，如果满足：

$$SG(G) \,\, = \,\, SG(G1) \,\, xor \,\, SG(G2) \,\, xor \,\, ... \,\, SG(G_m) == 0$$

那么此时是必胜局面，证明方法与$NIM$博弈类似
否则必败局面。

理解：

在一个没有出边的节点上，不能进行任何操作，那么它的$SG = 0$，此时就是必败局面。
对于一个节点的某一个后继节点$SG = 0$的情况，在$mex$运算后，该节点$SG > 0$，那么等价于当前局面是必胜局面，因为后继界面是必败界面。
对于一个节点的后继节点$SG$均不为$0$，在$mex$运算后，该节点$SG$值为$0$，那么当前就是一个必败界面。

理论部分结束！
后边新学知识我再补上。