Codeforces Round #698 (Div. 2) A~C题解

写在前边

链接：Codeforces Round #698 (Div. 2)
又是自闭的一场比赛，$C$题补了一天终于明白了一些，真的好自闭好自闭。
今晚还有一场，加油喽。

A. Nezzar and Colorful Balls

链接：A题链接

题目大意:

给定一个单调不减的序列，现在往上边涂颜色，要求涂颜色后，选中其中任意一种颜色，去除所有其他颜色的数字后剩下的数字组成的序列是严格递增的，问至少需要几种颜色可以达到这种效果。

思路：

首先想到，如果想要达到题目要求，对于这类似1 1 1 1这种连续相同的序列，肯定不能用一种颜色，因子就推出需要的颜色种数就是序列中数目最多的数字个数。

代码:

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <unordered_map>

using namespace std;

#define Inf 0x3f3f3f3f
#define PII pair<int, int>
#define P2LL pair<long long, long long>

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef vector<long long> VLL;
typedef vector<int> VI;

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    unordered_map<int, int> hash;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int c;
        cin >> c;
        hash[c]++;
    }
    int res = 0;
    for (auto it : hash) {
        res = max(res, it.second);
    }
    cout << res << endl;
}

int main()
{
    //ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }

    return 0;
} 

B. Nezzar and Lucky Number

链接：B题链接

题目大意:

选定一个幸运数$d \in [1, 9]$,凡是数字中带有它都是幸运数，如选定$7$，那么$17，27...$也都是幸运数，同时，由幸运数加和组成的数也都是幸运数，例如$54 = 27 + 27$，因此$54$也是幸运数，现在要求快速判断一个数是否是幸运数。

思路：

推了好久，一个数如果是幸运数，大致推出一个数是幸运数那么必然可以表示:$number = 10 * k + d * n, k \geq 0, d \geq 1$的形式，因此判断一个数是否是幸运数就让它一直减d，直到剩下$\geq 0$个$10$，那么就可以判断是幸运数了，但是对于大数这样做铁定超超时，而对于大数，还有一条性质，即如果$number\geq10*d$，那么$number$必然是一个幸运数，下面给出证明：
设一个区间：$[10*d, 10*d + 9]$
那么对于这样一个区间的数就包含了一个$d$了，因此这个区间的数就都是幸运数，而对于每一个数$k > 10*d + 9$，我们可以让它不断地减去$d$那么一定可以落到这个区间，因此$number\geq10*d$，则$number$一定是幸运数,证毕。

所以对于大数可以直接判断是否$≥10*d$，小数直接枚举即可。

代码:

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <unordered_map>
#include <string>
 
using namespace std;
 
#define Inf 0x3f3f3f3f
#define PII pair<int, int>
#define P2LL pair<long long, long long>
 
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef vector<long long> VLL;
typedef vector<int> VI;
 
const int N = 1E4 + 10;
int a[N];
 
void solve() {
    int q, d, idx;
    scanf("%d%d", &q, &d);
    for (int i = 0; i < q; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    for (int i = 0; i < q; i++) {
        if (a[i] >= 10 * d) {
            puts("YES");
        } else {
            int temp = a[i];
            temp -= d;
            //一直减d减到10的倍数
            while (temp % 10 != 0 && temp >= 0) {
                temp -= d;
            }
            if (temp >= 0 && temp / 10 >= 0) {
                puts("YES");
            } else {
                puts("NO");
            }
        }
    }
}
 
int main()
{
    //ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        solve();
    }

    return 0;
} 

C. Nezzar and Symmetric Array

链接：C题链接

题目大意:

给定一个有$2*n$个数数组$d_i$，问我们是否可以构造出一个$a_i$，$a$满足以下条件：

1. $a$中$2*n$个数各不相同。
2. 对于任意一个数，$1 \leq i \leq 2n$，存在一个数$1 \leq j \leq 2n$，这两个数满足$a_i = -a_j$。

能使得$d_i = \sum\limits_{j = 1}^{2n} |a_i - a_j|$

思路：

$a$中的数可以说是"对称"的，即一正一负，对于一个数对$x$与其中一个数对$(y, -y)$就有$|x-y| + |x + y|$，同理对于$-x$则有$|-x-y| + |-x + y|$,而$|x-y| + |x + y| = |-x-y| + |-x + y|$，所以可见$d$中得数对是成对出现的，同时$a_i$又是两两不同，那么$d$中相同的数的对数只能为$1$，且不能超过$1$，又因为任意两个相同的数相加是一定偶数，因此d中的数肯定都是偶数, 所以对于$|x-y| + |x + y|$：

当$x > y$时，则$|x-y| + |x + y| = 2 * x$
当$x < y$时，则$|x-y| + |x + y| = 2 * y$

因此可以发现对于一个$x$与一个数对$(y, -y)$，对$d_i$得贡献就是$|x-y| + |x + y| = 2 * max(x, y)$, 同理$-x$也是。

所以对于题目中所给公式$d_i = \sum\limits_{j = 1}^{2n} |a_i - a_j|$，公式就变成了$d_i = \sum\limits_{j = 1}^{2n} max(|a_i|, |a_j|)$，而又因为$x$与$-x$对$d_i$的贡献相同，因此我们光看正的那一部分，所以公式又变成了$d_i = 2 * \sum\limits_{j = 1}^{n} max(|a_i|, |a_j|)$。

对于最大的数$a_i$那么组成的$d_i$肯定也是最大的，$d_i = a[i] * 2 * n$，所以得$a[i] = \cfrac{d_i}{2 * n}$
对于次大的数$a_{i-1}$，因为比它大的只有$a_i$，所以$d_{i - 1} = a[i - 1] * 2 * (n - 1) + 2 * a[i]$，即$a[i - 1] = \cfrac{d_{i - 1} - 2 * a[i]}{2 * (n - 1)}$
$...$
以此类推，还要判断一下计算出来的$a$是否已经存在, 或者其他情况。

代码:

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <map>

using namespace std;

#define Inf 0x3f3f3f3f
#define PII pair<int, int>
#define P2LL pair<long long, long long>

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef vector<long long> VLL;
typedef vector<int> VI;

typedef long long LL;

const int N = 1E5 + 10;
LL n;

void solve() {
    cin >> n;
    map<LL, LL, greater<int> > mp;
    map<LL, bool> vis;
    for (int i = 0; i < n * 2; i++) {
        LL c;
        cin >> c;
        mp[c]++;
    }
    LL k = 0, last = 0;
    for (auto it : mp) {
        LL d_value = it.first, cnt = it.second;
        if (cnt & 1 || d_value & 1 || cnt > 2) { //如果没有成对出现 或者 出现奇数 出现次数大于2
            puts("NO");
            return;
        }
        LL up = (d_value - last * 2) / 2;   
        LL down = n - k;
        if (up % down != 0) {
            puts("NO");
            return;
        }
        up /= down;
        if (vis.count(up) || up <= 0) {
            puts("NO");
            return;
        }
        vis[up] = true;
        last += up;
        k++;
    }
    puts("YES");
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }
    system("pause");
    return 0;
}