快速幂

快速幂的作用:

就是为了快速的算出$a^k(mod)p$,先看朴素算法，如果算a^k那么得用一个for循环，效率为$O(n)$,但是如果使用快速幂那么效率就成变成了$O(logn)$,所以说效率还是很高的。

原理：

因为k有$[log_2k] + 1$个二进制位，所以我们需要预处理出$a^{2^0}(mod)p$, $a^{2^1}(mod)p$,.....$a^{2^{log_2k}}(mod)p$,一共有$log_2k$个，因此时间复杂度是$O(logk)$,然后再组合出$a^k$即可，就是将$a^k$拆成$a^{i_1}*a^{i_2}...$的形式，整理一下就是$a^{i_1 + i_2 + ....}$的形式，因此我们可以分两步：

• 第一步先处理k的二进制：假设$(k)_10 = (110110)_2$,那么k的二进制形式就是$2^5 + 2^4 + 2^2 + 2^1$,因此二进制位上为1的加上即可
• 第二步：快速处理出$a^{2^0}$, $a^{2^1}$....，很容易发现，$a^{2^1} = {(a^{2^0}})^2$,即每一项是前一项的平方

都处理完之后，就可以把$a^k$拆成$a^{i_1}*a^{i_2}...$的形式了

感觉自己说的都一懵一懵的，举个例子：
假设要算$4^5(mod)9$，那么我们可以将$5$拆解成它的二进制形式$(0101)$，于是：

$$4^5(mod)9 = 4^{2^0}(mod)9 * 4^{2^2}(mod)9 = 4^{2^0 + 2^2}(mod)9$$

代码：

int qmi(int a, int k, int p) {
    int res = 1;
    if(k == 0 && p == 1) return 0; //可能会出现k == 0 p == 1的情况, 需要特判
    while(k) {
        if(k & 1) res = (LL)res * a % p; //不要忘了long long很重要
        k >>= 1;
        a = (LL)a * a % p;
    }
    return res;
}

矩阵快速幂

与普通的快速幂类似，求$A^k$(A是一个矩阵)只不过是多了一个矩阵乘法，再有就是注意一些细节了，long long的使用，直接看代码吧

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 110, Mod = 1e9 + 7;
long long n, k;

void mul(LL a[][N], LL b[][N], LL c[][N]) {
    LL temp[N][N] = {0};
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            for (int k = 0; k < n; k++) {
                temp[i][j] = (temp[i][j] + (LL)b[i][k] * c[k][j] % Mod) % Mod; //防止溢出
            }
        }
    }
    memcpy(a, temp, sizeof temp);
}

int main() {
    LL a[N][N], res[N][N];
    scanf("%lld%lld", &n, &k); //因为都是long long类型 因此用lld读入
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            scanf("%lld", &a[i][j]);
            res[i][j] = a[i][j];
        }
    }
    k--;
    while(k) {
        if(k & 1) mul(res, res, a);
        mul(a, a, a);
        k >>= 1;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            printf("%lld ", res[i][j]);
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}

还有一些典型的例题 比如fib求值，求前n项和等等，会填坑的