最小生成树（Kruskal Prim）
最小生成树
(克鲁斯卡尔算法) Kruskal
给定一个n个点m条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。
给定一张边带权的无向图 \(G=(V, E)\)，其中\(V\)表示图中点的集合，\(E\)表示图中边的集合，\(n=|V|\)，\(m=|E|\)。
由\(V\)中的全部\(n\)个顶点和\(E\)中\(n-1\)条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图G的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
接下来m行，每行包含三个整数\(u，v，w\)，表示点u和点v之间存在一条权值为w的边。
输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。
数据范围
\(1 \leq n \leq 10^5\)
\(1 \leq m \leq 2∗10^5\)
图中涉及边的边权的绝对值均不超过1000。
输入样例：
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例：
6
思路：
\(Kruskal\)主要用于稀疏图, 用邻接矩阵来处理，时间复杂度为\(O(mlogn)\)。按照边的权重顺序（从小到大）将边加入生成树中，但是若加入该边会与生成树形成环则不加入该边。直到树中含有\(V-1\)条边为止。这些边组成的就是该图的最小生成树。
来自维基百科 原作者：Schulllz
其中如果生成树如果与将要加入的边生成环则说明\((a，b)\)同祖先, 比如上图那种情况, 因此我们这里就可以使用并查集来判断，如果不会生成环中, 则a != b一定会成立。
代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 100010, M = 200010, INF = 0X3f3f3f3f;
int n, m;
int p[N];
struct Edge
{
int a, b, w;
bool operator< (const Edge &W)const //重载运算符
{
return w < W.w;
}
}edges[M];
int find(int x)
{
if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int kruskal()
{
sort(edges, edges + m);
for(int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
int res = 0, cnt = 0;
for(int i = 0; i < m; i++)
{
int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
a = find(a), b = find(b);
if(a != b)
{
p[a] = b;
res += w;
cnt++;
}
}
if(cnt < n-1) return INF; //找不到n-1条边肯定有的不连通
return res;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 0; i < m; i++)
{
int a, b, w;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
edges[i] = {a, b, w};
}
int t = kruskal();
if(t == INF) puts("impossible");
else printf("%d\n", t);
return 0;
}
(普利姆算法) Prim
给定一个n个点m条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。
给定一张边带权的无向图\(G=(V, E)\)，其中\(V\)表示图中点的集合，\(E\)表示图中边的集合，\(n=|V|，m=|E|\)。
由\(V\)中的全部\(n\)个顶点和\(E\)中\(n-1\)条边构成的无向连通子图被称为\(G\)的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图\(G\)的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数\(n\)和\(m\)。
接下来\(m\)行，每行包含三个整数\(u，v，w\)表示点\(u\)和点\(v\)之间存在一条权值为\(w\)的边。
输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。
数据范围
\(1 \leq n \leq 500\)
\(1 \leq m \leq 10^5\)
图中涉及边的边权的绝对值均不超过10000。
输入样例：
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例：
6
思路
\(Prim\)主要用于稠密图, 用邻接表来处理，时间复杂度为\(O(n^2)\)
void Prim()
{
dist[i] = +∞
for (int i = 0; i < n; i++)
{
1.t<-集合外距离最近的点
st[t] = true //标记
2.用t更新其他点到集合的距离
}
}
代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N];
int dist[N]; //当前点到集合的距离
bool st[N];
int prim()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
int res = 0;
for(int i = 0; i < n; i++)
{
int t = -1;
for(int j = 1; j <= n; j++) //寻找距离集合最近的点
{
if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
{
t = j;
}
}
if(i && dist[t] == INF) return INF; //说明不存在最小生成树 由V中的全部n个顶点和E中n-1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树，
if(i) res += dist[t]; //一定要记得先累加 不然如果存在自环的话更新后再累加会出问题
st[t] = true;
for(int j = 1; j <= n; j++) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]); //更新
}
return res;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
memset(g, 0x3f, sizeof g);
while(m--)
{
int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
}
int t = prim();
if(t == INF) puts("impossible");
else printf("%d\n", t);
return 0;
}
