DP：摆动序列

问题描述

　　如果一个序列满足下面的性质，我们就将它称为摆动序列：
　　1. 序列中的所有数都是不大于k的正整数；
　　2. 序列中至少有两个数。
　　3. 序列中的数两两不相等；
　　4. 如果第i – 1个数比第i – 2个数大，则第i个数比第i – 2个数小；如果第i – 1个数比第i – 2个数小，则第i个数比第i – 2个数大。

　　比如，当k = 3时，有下面几个这样的序列：
　　1 2
　　1 3
　　2 1
　　2 1 3
　　2 3
　　2 3 1
　　3 1
　　3 2
　　一共有8种，给定k，请求出满足上面要求的序列的个数。

输入格式

　　输入包含了一个整数k。（k<=20）

输出格式

　　输出一个整数，表示满足要求的序列个数。

样例输入

3

样例输出

8

 

思路：这个题与其说是动态规划，不如说是找规律。

1.k个数组成的k个数的摆动序列就只有两种。

2.k个数组成的2个数的摆动序列根据高二学的排列组合就是C²_k*2，因为k中选2个数。

3.然后再找规律，四个数中选3个，就相当于四个数中选1个，即一共四种选法，而这每种选法构成的摆动序列只有两种，例如1 2 3 4，选1 2 3，构成的摆动序列就是2 1 3或者2 3 1，所以4选3构成8种摆动序列，然后继续推，得到一个表格就能找到其中的规律。

	2	3	4	5	6	7	8
2	2	0	0	0	0	0	0
3	6	2	0	0	0	0	0
4	12	8	2	0	0	0	0
5	20	20	10	2	0	0	0
6	30	40	30	12	2	0	0
7	42	70	70	42	14	2	0
8	56	112	140	112	56	16	2

 

 

 

 

 

 

 

 

横坐标表示k，纵坐标表示选取的个数。

所以第一列就是C²_k*2，代码表示： memo[i][2] = i * i - i; 

剩下的就是 memo[i][j] = memo[i - 1][j] + memo[i - 1][j - 1] 

最后结果就是把k的那一行累加即可 res += memo[k][i]; 

代码

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

int main()
{
    int k;

    cin >> k;
    vector< vector<int> > memo(k+1, vector<int>(k+1,0));
    
    for (int i = 2; i <= k; i++)
    {
        memo[i][2] = i * i - i;  //Cn2*2;
    }

    for (int i = 3; i <= k; i++)
    {
        for (int j = 3; j <= k; j++)
        {
            memo[i][j] = memo[i - 1][j] + memo[i - 1][j - 1];
        }
    }

    int res = 0;
    for (int i = 2; i <= k; i++)
    {
        res += memo[k][i];
    }

    cout << res;
    return 0;
}